Iloczyn nieskończony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyn nieskończony - pojęcie analogiczne szeregowi; iloczyn nieskończenie wielu liczb (rzeczywistych lub zespolonych).

Ustalenia wstępne[edytuj]

Jeżeli jest ciągiem liczb, to liczby nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu , natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym - w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

Związek z szeregami[edytuj]

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu jest zbieżny, to

.

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego[edytuj]

Iloczyn nieskończony ciągu jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

.

Jeżeli warunek ten jest spełniony i jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi .

Można podać też inne kryteria zbieżności:

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych wyrazy ciągu liczbowego są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg .
  • Jeżeli zbieżne są szeregi: i , to zbieżny jest iloczyn .

Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn .

Warunek Cauchy'ego dla iloczynów: Iloczyn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy .

Wniosek: Iloczyn jest bezwzględnie zbieżny Szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone[edytuj]

- szczególny przypadek - iloczyn Wallisa:
- Funkcja ζ Riemanna, oznacza ciąg liczb pierwszych
- iloczyn Vièta

Bibliografia[edytuj]

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.