Iloczyn nieskończony
Iloczyn nieskończony – iloczyn nieskończenie wielu liczb rzeczywistych lub zespolonych[1]; pojęcie analogiczne do szeregu.
Ustalenia wstępne
[edytuj | edytuj kod]Jeżeli jest ciągiem liczb, to liczby nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol
nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych
(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.
Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym – w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.
Związek z szeregami
[edytuj | edytuj kod]Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu jest zbieżny, to
Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego
[edytuj | edytuj kod]Iloczyn nieskończony ciągu jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
Jeżeli warunek ten jest spełniony i jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi
Można podać też inne kryteria zbieżności:
- Jeżeli dla dostatecznie dużych wyrazy ciągu liczbowego są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
- jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
- Jeżeli zbieżne są szeregi: i to zbieżny jest iloczyn
Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn
Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
Wniosek: Iloczyn jest bezwzględnie zbieżny Szereg jest bezwzględnie zbieżny.
Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone
[edytuj | edytuj kod]- – szczególny przypadek – iloczyn Wallisa:
- – funkcja ζ Riemanna, oznacza ciąg liczb pierwszych
- – iloczyn Vièta
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ iloczyn nieskończony, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-05-31] .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Infinite Product, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-05-31].
- Infinite product (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].