Funkcja Möbiusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja Möbiusafunkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa[1] w 1831 roku[2] i zdefiniowana w następujący sposób:

  • jeśli liczba jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej,
  • jeśli liczba jest iloczynem różnych liczb pierwszych.

Wartości funkcji Möbiusa dla małych

1 1
2 −1
3 −1
4 0
5 −1
6 1
7 −1
8 0
9 0
10 1

Gdy jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi −1.

Dla zachodzi równość:

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby włącznie z 1 i

[3].

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

= −1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
= 0 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
= 1 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Wykres funkcji Möbiusa dla

Moebius mu.svg


Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, iż

jeśli i liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej, gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

Związek z funkcjami trygonometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

Spójrzmy na ciąg ułamków

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

Utwórzmy sumę:

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Wyd. 1. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
  2. August Ferdinand Möbius (ang.). The MacTutor History of Mathematics archive. [dostęp 2013-12-12].
  3. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. T. 29. 1976, s. 78–80, seria: Biblioteka Matematyczna.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]