Funkcja Möbiusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja Möbiusafunkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa[1] w 1831 roku[2] i zdefiniowana w następujący sposób:

  • μ (1) = 1
  • μ (n) = 0 jeśli liczba n jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej;
  • μ (n) = (-1)k jeśli liczba n jest iloczynem k różnych liczb pierwszych;

Wartości funkcji Möbiusa dla małych n:

n μ(n)
1 1
2 -1
3 -1
4 0
5 -1
6 1
7 -1
8 0
9 0
10 1

Gdy n jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi -1.

Dla n > 1 zachodzi równość:

\sum_{d|n} \mu(d) = 0\,

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby n włącznie z 1 i n

\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases}1&\mbox{ gdy } n=1\\
0&\mbox{ gdy } n>1.\end{cases}[3].

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Moebiusa:

\mu(n) = -1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, ...
\mu(n) = 0 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, ...
\mu(n) = 1 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, ...

Wykres funkcji Möbiusa dla n \leqslant 50:

Moebius mu.svg

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza iż

  • \mu(a) \cdot \mu(b) = \mu(ab)

jeśli a i b są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

Związek z funkcjami trygonometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

Spójrzmy na ciąg ułamków


\frac{1}{42}, \qquad \frac{2}{42}, \qquad \frac{3}{42}, \qquad
\dots\dots, \qquad \frac{39}{42}, \qquad \frac{40}{42}, \qquad
\frac{41}{42}.

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:


\frac{1}{42}, \qquad \frac{5}{42}, \qquad \frac{11}{42}, \qquad
\dots, \qquad \frac{31}{42}, \qquad \frac{37}{42}, \qquad
\frac{41}{42}.

Utwórzmy sumę:


\cos\left(2\pi\cdot\frac{1}{42}\right)+
\cos\left(2\pi\cdot\frac{5}{42}\right)+
\cdots+
\cos\left(2\pi\cdot\frac{37}{42}\right)+
\cos\left(2\pi\cdot\frac{41}{42}\right)

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

\sum_{1\leqslant x< n, \operatorname{NWD} (x,n)=1} \cos \left(2\pi\cdot\frac{x}{n}\right)=\mu(n)

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Wyd. 1. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
  2. August Ferdinand Möbius (ang.). The MacTutor History of Mathematics archive. [dostęp 2013-12-12].
  3. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. T. 29. 1976, s. 78-80, seria: Biblioteka Matematyczna.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]