Funkcja Möbiusa

Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku i zdefiniowana w następujący sposób:

• $\mu (1)=1,$
• $\mu (n)=0,$ jeśli liczba $n$ jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej,
• $\mu (n)=(-1)^{k},$ jeśli liczba $n$ jest iloczynem $k$ różnych liczb pierwszych.

Wartości funkcji Möbiusa dla małych $n{:}$

$n$	$\mu (n)$
1	1
2	−1
3	−1
4	0
5	−1
6	1
7	−1
8	0
9	0
10	1

Gdy $n$ jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi −1.

Dla $n>1$ zachodzi równość:

$\sum _{d|n}\mu (d)=0,$

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby $n$ włącznie z 1 i $n$

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{ gdy }}n=1\\0&{\text{ gdy }}n>1\end{cases}}$.

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

$\mu (n)$ = −1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
$\mu (n)$ = 0	4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
$\mu (n)$ = 1	1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Wykres funkcji Möbiusa dla $n\leqslant 50{:}$

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, iż

• $\mu (a)\cdot \mu (b)=\mu (ab),$

jeśli $a$ i $b$ są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej, gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób.

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Utwórzmy sumę:

$\cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\ldots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right).$

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

$\sum _{1\leqslant x<n,\operatorname {NWD} (x,n)=1}\cos \left(2\pi \cdot {\frac {x}{n}}\right)=\mu (n).$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Möbius Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).