Funkcja tożsamościowa

Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność) – funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.

W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.

Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał - funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator - funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową, itp.

Definicja

Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru $S$$S$ nazywa się funkcję $\operatorname {i} _{S}\colon S\to S$$\operatorname{i}_S\colon S \to S$ daną dla każdego $x\in S$$x\in S$ wzorem

$\operatorname {i} _{S}(x)=x.$$\operatorname{i}_S(x) = x.$

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą $\operatorname {id} _{S}$$\operatorname{id}_S$, $\operatorname {I} _{S}$$\operatorname{I}_S$, $\operatorname {1} _{S}$$\operatorname{1}_S$, choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru $S$$S$.

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc: $\operatorname {id}$$\operatorname {id}$, $\operatorname {I}$$\operatorname {I}$, $\operatorname {1}$$\operatorname {1}$.

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna $M$$M$.

Własności

Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli $f\colon M\to N$$f\colon M \to N$ jest dowolną funkcją, to $f\circ \operatorname {id} _{M}=f=\operatorname {id} _{N}\circ f$$f \circ \operatorname{id}_M = f = \operatorname{id}_N \circ f$, gdzie $\circ$$\circ$ oznacza złożenie funkcji. W szczególności $\operatorname {id} _{M}$$\operatorname{id}_M$ jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji $M\to M$$M \to M$.

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na $M$$M$ można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy $M$$M$ nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady

Funkcja liniowa postaci $x\mapsto x$$x\mapsto x$ jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz też

• włożenie
• zanurzenie