Funkcja tożsamościowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność)funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.

W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.

Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał – funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator – funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową itp.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru nazywa się funkcję daną dla każdego wzorem

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc:

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli jest dowolną funkcją, to gdzie oznacza złożenie funkcji. W szczególności jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Funkcja liniowa postaci jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]