Funkcja tożsamościowa

Funkcja tożsamościowa a. identycznościowa – funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego; intuicyjnie funkcja, która „nic nie zmienia”.

Z powodu wielości dyscyplin matematycznych, w których (z powodów historycznych) używana jest niekiedy inna terminologia, wyraz funkcja bywa zastępowany innymi, do najczęstszych należą: odwzorowanie, przekształcenie. Często nazwę tego przekształcenia skraca się po prostu do: tożsamość lub identyczność. Spotyka się też inne nazwy, które zawężają dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji, np. funkcjonał, operator itp.

Definicja

Funkcją tożsamościową a. identycznościową zbioru $S$ nazywa się funkcję $\operatorname{i}_S\colon S \to S$ daną dla każdego $x \in S$ wzorem

$\operatorname{i}_S(x) = x.$

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, często spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą m.in. $\operatorname{id}_S$, $\operatorname{I}_S$, $\operatorname{1}_S$, choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru $S$. Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to zwykle opuszcza się też indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową.

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna $M$.

Własności

Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli $f\colon M \to N$ jest dowolną funkcją, to $f \circ \operatorname{id}_M = f = \operatorname{id}_N \circ f$, gdzie $\circ$ oznacza złożenie funkcji. W szczególności $\operatorname{id}_M$ jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji $M \to M$.

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na $M$ można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy $M$ nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady

Funkcja liniowa postaci $x \mapsto x$ jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz też

• włożenie
• zanurzenie