Funkcja tożsamościowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność)funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.

W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.

Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał - funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator - funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową, itp.

Definicja[edytuj]

Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru nazywa się funkcję daną dla każdego wzorem

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą , , , choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru .

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc: , , .

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna .

Własności[edytuj]

Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli jest dowolną funkcją, to , gdzie oznacza złożenie funkcji. W szczególności jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji .

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady[edytuj]

Funkcja liniowa postaci jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz też[edytuj]