Kostka Tichonowa

Kostka Tichonowa – konstrukcja mnogościowa w topologii, będąca przykładem przestrzeni uniwersalnej dla przestrzeni Tichonowa i przestrzeni zwartych.

Definicja

Kostką Tichonowa $I^{\kappa }$ ciężaru $\kappa ,$ gdzie $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną, nazywa się przestrzeń produktową

$\prod _{s\in S}I_{s},$

gdzie $I_{s}=[0,1]$ dla każdego elementu $s$ zbioru $S$ ($S$ jest zbiorem mocy $\kappa$).

Kostka $I^{\aleph _{0}}$ z metryką

$\varrho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|x_{n}-y_{n}|}{2^{n}}},\qquad {\big (}x=(x_{n})_{n=1}^{\infty },\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \,[0,1]^{\aleph _{0}}{\big )}$

nazywana jest kostką Hilberta. Metryka $\varrho$ wyznacza topologię w zbiorze $I^{\aleph _{0}}$ identyczną z topologią Tichonowa (tj. wyjściową topologią kostki Tichonowa ciężaru $\aleph _{0}$).

Własności

• Kostka Tichonowa ciężaru $\kappa$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni Tichonowa o nieskończonym ciężarze $\kappa .$
• Kostka Tichonowa ciężaru $\kappa$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zwartych o nieskończonym ciężarze $\kappa .$
• Z twierdzenia Tichonowa wynika, że każda kostka Tichonowa jest zwarta.
• Topologia wyznaczona przez metrykę w kostce Hilberta pokrywa się z jej topologią Tichonowa.
• Inne twierdzenie Tichonowa stwierdza, że każda przestrzeń Tichonowa jest homeomorficzna z podprzestrzenią kostki Tichonowa o ciężarze równym ciężarowi tej przestrzeni.
• Kostka Tichonowa (nieskończonego) ciężaru $\kappa$ jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy $\kappa =\aleph _{0}.$

Zobacz też

• kostka Aleksandrowa
• kostka Cantora

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce