Topologia podprzestrzeni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia podprzestrzenitopologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną, zaś będzie podzbiorem zbioru . Topologia podprzestrzeni indukowana z przestrzeni to rodzina .

Łatwo się sprawdza że jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić z topologią podprzestrzeni mówi się po prostu podprzestrzeń .

Przykłady[edytuj]

  • Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych z topologią naturalną rozważymy zbiór liczb naturalnych z topologią podprzestrzeni, to stanie się on przestrzenią dyskretną. Natomiast zbiór liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni nie jest przestrzenią dyskretną – ta przestrzeń nie ma nawet punktów izolowanych.
  • Jeśli (z topologią naturalną), a , to zbiór jest otwarty w , ale nie w .

Charakteryzacja i własności[edytuj]

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy, że jest przestrzenią topologiczną a jest jej podprzestrzenią.

  • Niech będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej i funkcji , jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja złożona jest ciągła.
Własność charakteryzująca podprzestrzeń

Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na .

  • Jeśli jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do też jest ciągłe.
  • Podzbiór jest domknięty (w topologii na ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego domkniętego podzbioru .
  • Jeśli jest bazą topologii na , to jest bazą topologii na .
  • Każda podprzestrzeń przestrzeni jest także podprzestrzenią przestrzeni .
  • Jeśli jest otwartym podzbiorem , to podziór jest otwarty w wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w .
  • Jeśli jest domkniętym podzbiorem , to podziór jest domknięty w wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w .
  • Jeśli jest przestrzenią metryczną z metryką , to wtedy jest metryką na i topologia podprzestrzeni na jest wyznaczona przez

Własności dziedziczne[edytuj]

Mówimy, że własność P przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną, gdy:

dla każdej przestrzeni topologicznej , jeśli ma własność P i jest podprzestrzenią , to także ma własność P.

Przykłady własności dziedzicznych:

Przykłady własności, które nie są własnościami dziedzicznymi:

Zobacz też[edytuj]