Kryterium Cauchy’ego
Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.
Kryterium
[edytuj | edytuj kod]Niech dany będzie szereg liczbowy
(A) |
o wyrazach nieujemnych.
- Jeżeli
to szereg (A) jest zbieżny.
- Jeżeli
to szereg (A) jest rozbieżny[1].
Wersja graniczna kryterium
[edytuj | edytuj kod]Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica
to
Dowód
[edytuj | edytuj kod]W przypadku, gdy
istnieją takie liczby i że
dla każdego To oznacza, że dla zachodzi nierówność
czyli
co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu (A).
W przypadku, gdy
istnieje taka liczba że dla zachodzi nierówność
a więc spełniona jest także nierówność
Oznacza to, że szereg (A) jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.
Przykład zastosowania
[edytuj | edytuj kod]Rozważmy szereg
(B) |
Wówczas
Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (B) jest zbieżny.
Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności
[edytuj | edytuj kod]Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg (A) jest zbieżny, gdy
Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (an), (bn), gdzie
Wówczas
(korzystamy z faktu, że ). Jednak (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[2][3].
Porównanie z kryterium d’Alemberta
[edytuj | edytuj kod]- Osobny artykuł:
Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg (A) o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi[4]. Istotnie, załóżmy, że szereg (A) spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.
Wówczas istnieją liczba oraz taka, że
dla dowolnego Wówczas dla każdego Zatem
Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.
Niech dany będzie szereg
Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci
Zauważmy, że
oraz
Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg (A) jest zbieżny. Z drugiej strony
co pokazuje, że szereg (A) nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 233.
- ↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 47.
- ↑ Leja 1971 ↓, s. 193.
- ↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 48.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
- Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
- Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.