Kryterium Cauchy’ego zagęszczające

Kryterium Cauchy’ego zagęszczające (także kryterium kondensacyjne, kryterium zagęszczania) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych udowodnione przez Cauchy’ego. Rozszerzeniem kryterium Cauchy’ego zagęszczającego jest kryterium Schlömilcha zagęszczające.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},$

(A)

którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz $a_{n}\geqslant 0$ dla wszelkich $n.$ Ponadto, niech dany będzie szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}.$

(B)

Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg (B) jest zbieżny.

W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego szereg (B) można zastąpić szeregiem

$\sum _{n=1}^{\infty }p^{n}\cdot a_{p^{n}}$

dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej $p$.

Dowód

W dowodzie wygodnie jest użyć notacji funkcyjnej; niech

$f(n)=a_{n}\quad (n\in \mathbb {N} ).$

Ponieważ ciąg $(f(n))$ jest nierosnący, zachodzą oszacowania

$0\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ {\stackrel {(1)}{\leqslant }}\ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ {\stackrel {(2)}{\leqslant }}\ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leqslant \infty .$

Istotnie, nierówność (1) wynika z oszacowania:

${\begin{array}{rcccccccl}\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\ldots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\ldots \\&\leqslant &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\ldots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\ldots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}.$

Nierówność (2) wynika natomiast z oszacowania:

${\begin{array}{rcl}\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\ldots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\ldots \\&\leqslant &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\ldots =2\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}.$

Z kryterium porównawczego wynika zatem, że szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, szereg (B) jest zbieżny.

Przykłady zastosowania

• Szereg harmoniczny

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

jest rozbieżny. Istotnie,

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}=1+1+1+\ldots =\infty$.

• Szereg

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n}}$

jest rozbieżny. Istotnie,

$\sum _{n=2}^{\infty }2^{n}\cdot {\frac {1}{2^{n}\cdot \ln 2^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln 2}}=\infty ,$

co wynika z rozbieżności szeregu harmonicznego.

Bibliografia

• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1971. Brak numerów stron w książce
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.

Literatura dodatkowa

• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.