Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Dirichletakryterium zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych udowodnione przez Petera Gustawa Dirichleta. Kryterium to może być postrzegane jako szczególny przypadek kryterium Dirichleta zbieżności szeregów funkcyjnych.

Kryterium[edytuj | edytuj kod]

Niech będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

  • ciąg sum częściowych
jest ograniczony,
  • jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do 0,

to szereg

jest zbieżny[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza ciąg sum częściowych ciągu tj.

Z ograniczności ciągu wynika istnienie takiej liczby że dla każdego

Stąd, dla dowolnych liczb naturalnych zachodzi

W konsekwencji:

(1)

Stosując przekształcenie Abela otrzymujemy:

Wynika z powyższego, że

Podobnie, przez zastosowanie przekształcenia Abela do lewej strony nierówności (1) do otrzymujemy

Zatem

Niech Na mocy założenia o zbieżności ciągu istnieje takie że dla każdego

Ponieważ powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego szereg

spełnia warunek Cauchy’ego.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]