Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych

Kryterium Dirichleta – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych udowodnione przez Petera Gustawa Dirichleta. Kryterium to może być postrzegane jako szczególny przypadek kryterium Dirichleta zbieżności szeregów funkcyjnych.

Kryterium

Niech $(a_{n})_{n=1}^{\infty },(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

• ciąg sum częściowych

$\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$

jest ograniczony,

• $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do 0,

to szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

jest zbieżny.

Dowód

Niech $(s_{n})_{n=1}^{\infty }$ oznacza ciąg sum częściowych ciągu $(a_{n})_{n=1}^{\infty },$ tj.

$s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\quad (n\in \mathbb {N} ).$

Z ograniczności ciągu $(s_{n})_{n=1}^{\infty }$ wynika istnienie takiej liczby $r>0,$ że dla każdego $n$

$|s_{n}|\leqslant r.$

Stąd, dla dowolnych liczb naturalnych $n,k\in \mathbb {N}$ zachodzi

$|a_{n+1}+\ldots +a_{n+k}|=|s_{n+k}-s_{n}|\leqslant |s_{n+k}|+|s_{n}|\leqslant 2r.$

(1)

Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy:

$a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}=(b_{n+1}-b_{n+2})a_{n+1}+(b_{n+2}-b_{n+3})(a_{n+1}+a_{n+2})+\ldots +(b_{n+k-1}-b_{n+k})(a_{n+1}+\ldots +a_{n+k-1})+b_{n+k}(a_{n+1}+\ldots +a_{n+k}).$

Nakładając na obie strony wartość bezwzględną oraz uwzględniając (1) i monotoniczność ciągu $(b_{n}),$ dostajemy

$|a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}|\leqslant 2r((b_{n+1}-b_{n+2})+(b_{n+2}-b_{n+3})+\ldots +(b_{n+k-1}-b_{n+k})+b_{n+k})=2rb_{n+1}.$

Zatem

$|a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}|\leqslant 2rb_{n+1}.$

Niech $\varepsilon >0.$ Na mocy założenia o zbieżności ciągu $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ istnieje takie $n_{0},$ że dla każdego $n\geqslant n_{0}$

$b_{n}<\varepsilon /2r.$

Ponieważ powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego $k,$ szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

spełnia warunek Cauchy’ego.

Bibliografia

• Grigorij MichajłowiczG.M. Fichtenholz Grigorij MichajłowiczG.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966 .

Literatura dodatkowa

• KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, London-Glasgow: Blackie & Son Ltd., 1990 .brak strony (książka)
• KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, Warszawa: PWN, 1961 .
• Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden Analiza matematyczna dla fizyków tom 1: Toruń, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 1994.