Kryterium Weierstrassa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium Weierstrassa – twierdzenie będące warunkiem wystarczającym zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Karla Weierstrassa. Kryterium to mówi, że jeżeli jest ciągiem funkcji określonych na dowolnym zbiorze o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że

dla każdego elementu zbioru oraz szereg liczbowy

jest zbieżny, to szereg funkcyjny

jest zbieżny jednostajnie w Ciąg nazywany jest majorantą ciągu funkcyjnego Kryterium pozostaje prawdziwe dla ciągów funkcyjnych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech Skoro szereg

jest zbieżny, to istnieje taka liczba że dla każdego mamy

Zatem dla dowolnej liczby mamy

Oznacza to, że szereg

spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, a w konsekwencji jest on zbieżny jednostajnie. Zatem szereg funkcyjny

jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]