Całka niewłaściwa

Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe $\pi /2$

Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona. W obu przypadkach jest to granica pewnej funkcji zdefiniowanej przez całkę.

Ustalenia wstępne

Całka na przedziale nieograniczonym

Niech dla każdego $A>a$ funkcja

$f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$

jest całkowalna w przedziale $[a,A].$ Granicę

$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to \infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w granicach od $a$ do $\infty .$ Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od $-\infty$ do $a$ i od $-\infty$ do $\infty {:}$

$\int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx=\lim _{A\to -\infty }\int \limits _{A}^{a}f(x)dx,$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\lim _{A\to -\infty ,\ B\to \infty }\int \limits _{A}^{B}f(x)dx.\quad \ \ (*)$

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

$\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx,\quad \ \ (**)$

gdzie $c$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia $(**)$ powoduje istnienie granicy z $(*),$ jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę $(*)$ można zdefiniować przez wyrażenie $(**).$

Całka funkcji nieograniczonej

Niech

$f\colon [a,b)\to \mathbb {R}$

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale $[a,b-\eta ],$ gdzie $0<\eta <b-a,$ oraz jest nieograniczona w każdym przedziale $[b-\eta ,b)$ na lewo od punktu $b$ (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji $f$). Granicę

$\int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x=\lim _{\eta \to 0}\int \limits _{a}^{b-\eta }f(x){\mbox{d}}x$

nazywa się całką niewłaściwą funkcji $f$ w przedziale $[a,b].$ Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt $a$ jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty $a,b$ są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki $\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x,$ tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x){\mbox{d}}x,\ \ \ a<c<b.$

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki

Niech $f$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale $(a,b)$ poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

$I=\int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x$

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

$\int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\mbox{d}}x$

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka $I$, ale nie istnieje całka modułu, całkę $I$ nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\mbox{d}}x={\frac {\pi }{2}}$

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}{\mbox{d}}x.$

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

Badanie zbieżności szeregu

Całka niewłaściwa $\textstyle \int \limits _{a}^{b}f(x){\mbox{d}}x$ istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_{n})$ punktów przedziału $[a,b],$ gdzie

$a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}<\ldots <b$

oraz

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=b$

szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }\,\int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n}}f(x){\mbox{d}}x$

jest zbieżny.

Kryterium porównawcze

Jeżeli funkcje

$f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$

są nieujemne oraz istnieje taka liczba $A\geqslant a,$ że dla każdego $x\geqslant A$ zachodzi nierówność $f(x)\leqslant g(x),$ oraz całka $\textstyle \int \limits _{a}^{\infty }g(x){\mbox{d}}x$ jest zbieżna, to również całka $\textstyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x){\mbox{d}}x$ jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium asymptotyczne

Jeżeli istnieje granica

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K,$

to

• gdy $K<\infty ,$ ze zbieżności całki $\textstyle \int \limits _{a}^{\infty }g(x){\mbox{d}}x$ wynika zbieżność całki $\textstyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x){\mbox{d}}x$ (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
• gdy $K>0,$ z rozbieżności całki $\textstyle \int \limits _{a}^{\infty }g(x){\mbox{d}}x$ wynika rozbieżność całki $\textstyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x){\mbox{d}}x$ (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy $0<K<\infty$ obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium Abela

Załóżmy, że funkcje $f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$ są takie, że

1) $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$ jest zbieżna;

2) funkcja $g(x)$ jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta

Załóżmy, że funkcja $f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$ jest całkowalna w każdym przedziale $[a,A]$ oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna $K,$ że dla każdego $A$

${\Bigg |}\int \limits _{a}^{A}f(x)dx{\Bigg |}\leqslant K;$

2) funkcja $g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R}$ jest zbieżna monotonicznie do $0$ przy $x\to \infty .$

Wówczas całka

$\int \limits _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx$

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej

Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całka funkcji wymiernej

Wszystkie funkcje wymierne ${\tfrac {P(z)}{Q(z)}},$ których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania $\Gamma$ znajdą się bieguny $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ funkcji $f$ i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

$\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathrm {res} _{z_{k}}f(z),$

gdzie $\Gamma$ to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

$\lim _{R\to +\infty }\int \limits _{-R}^{+R}f(z)\,dz$

możemy rozpatrywać jako sumę całek od $-R$ do $+R$ wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu $R$ przechodzącym przez punkty $+R,$ $Ri,$ $-R$ i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}f(z)$

przy założeniu, że wszystkie punkty $z_{1},z_{2},\dots ,z_{N}$ znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi

Całki funkcji postaci $f(x)\sin ax$ bądź $f(x)\cos ax$ liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\sin ax\,dx=\oint \limits _{\Gamma }e^{azi}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}e^{azi}f(z)$

bądź

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\cos ax\,dx=\oint \limits _{\Gamma }e^{azi}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{N}\mathrm {res} _{z_{k}}e^{azi}f(z).$

Przykłady

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx.$

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

$\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{t\to \infty }\left(-{\frac {1}{x}}\right){\bigg |}_{1}^{t}=\lim _{t\to \infty }\left(-{\frac {1}{t}}-\left(-{\frac {1}{1}}\right)\right)=1,$

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{t\to 0^{+}}\int \limits _{t}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx.$

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:

$\lim _{t\to 0^{+}}\int \limits _{t}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{t\to 0^{+}}\left(2{\sqrt {x}}\right){\bigg |}_{t}^{1}=\lim _{t\to 0^{+}}\left(2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {t}}\right)=2,$

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

• $\int \limits _{-\infty }^{\infty }~e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\mbox{d}}x={\sqrt {2\pi }}\sigma$ – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
• $\int \limits _{0}^{\infty }~x^{\alpha }e^{-x}{\mbox{d}}x=\Gamma (\alpha +1)$ – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
• $\int \limits _{0}^{\infty }~{\frac {x^{\alpha }{\mbox{d}}x}{e^{x}-1}}=\Gamma (\alpha +1)\zeta (\alpha +1)$ – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
• $\int \limits _{0}^{\infty }~{\frac {x^{\alpha }{\mbox{d}}x}{e^{x}+1}}=\Gamma (\alpha +1)\eta (\alpha +1)$ – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach

$\alpha$ – dowolna dodatnia liczba rzeczywista,

$\Gamma (z)$ – funkcja gamma Eulera,

$\zeta (z)$ – funkcja zeta Riemanna,

$\eta (z)$ – funkcja eta Dirichleta.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.brak strony w książce
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce