Całka niewłaściwa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Improperintegral1.png
Pole pod wykresem funkcji na przedziale nieskończonym jest skończone, równe π/2

Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.

Ustalenia wstępne[edytuj]

Całki na przedziale nieograniczonym[edytuj]

Niech dla każdego A > a funkcja

jest całkowalna w przedziale [a, A]. Granicę

nazywa się całką niewłaściwą funkcji f w granicach od a do ∞. Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od -∞ do a i od -∞ do ∞:

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe

gdzie c jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia powoduje istnienie granicy z , jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę można zdefiniować przez wyrażenie .

Całki z funkcji nieograniczonej[edytuj]

Niech

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale [a, bη], gdzie 0 < η < ba, oraz jest nieograniczona w każdym przedziale [bη, b) na lewo od punktu b (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji f). Granicę

nazywa się całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, b]. Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówimy się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt a jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty a, b są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki[edytuj]

Niech f będzie funkcją określoną na pewnym przedziale (a, b) poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka I, ale nie istnieje całka z modułu, całkę I nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

.

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych[edytuj]

Badanie zbieżności szeregu[edytuj]

Całka niewłaściwa istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) punktów przedziału [a, b], gdzie

oraz

szereg liczbowy

jest zbieżny.

Kryterium porównawcze[edytuj]

Jeżeli funkcje

są nieujemne oraz istnieje taka liczba Aa, że dla każdego xA zachodzi nierówność f(x) ≤ g(x), oraz całka jest zbieżna, to również całka jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium asymptotyczne[edytuj]

Jeżeli istnieje granica

,

to

  • gdy K < ∞, ze zbieżności całki wynika zbieżność całki (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
  • gdy K > 0, z rozbieżności całki wynika rozbieżność całki (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy 0 < K < ∞ obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium Abela[edytuj]

Załóżmy, że funkcje są takie, że

1) jest zbieżna;
2) funkcja jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta[edytuj]

Załóżmy, że funkcja jest całkowalna w każdym przedziale oraz

1) istnieje taka liczba nieujemna , że dla każdego
;
2) funkcja jest zbieżna monotonicznie do przy .

Wówczas całka

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej[edytuj]

Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całki z funkcji wymiernych[edytuj]

Wszystkie funkcje wymierne , których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania znajdą się bieguny funkcji i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:

gdzie to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci

możemy rozpatrywać jako sumę całek od do wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu przechodzącym przez punkty i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:

przy założeniu, że wszystkie punkty znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całki z funkcji wymiernych z funkcjami trygonometrycznymi[edytuj]

Całki z funkcji postaci bądź liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:

bądź

Przykłady[edytuj]

Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka

Obliczając całkę oznaczoną mamy:

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa[edytuj]

  • – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
  • – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
  • – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
  • – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach

– dowolna dodatnia liczba rzeczywista,
funkcja gamma Eulera,
funkcja zeta Riemanna,
funkcja eta Dirichleta.

Bibliografia[edytuj]