Liczba Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przybliżone wartości współczynnika Poissona dla różnych materiałów
Materiał Współczynnik Poissona
Guma ~ 0,50
Magnez 0,35
Tytan 0,34
Miedź 0,33
Aluminium 0,33
Glina 0,30–0,45
Stal nierdzewna 0,30–0,31
Stal 0,27–0,30
Żeliwo 0,21–0,26
Piasek 0,20–0,45
Beton 0,20
Szkło 0,18–0,3
Korek ~ 0,00
Sześcian o krawędziach długości L wykonany z izotropowego liniowo sprężystego materiału, o współczynniku Poissona równym 0,5, poddana obciążeniu w kierunku x. Zielona kostka pokazuje stan naturalny, czerwona rozciągnięta pod wpływem obciążenia na kierunku x-owym o długość \Delta L oraz równocześnie skrócona na kierunku y i z o długość \Delta L'.

Współczynnik Poissona (ν) – stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy osiowym stanie naprężenia.

Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową, nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób, w jaki się on odkształca.

Jeżeli w przypadku materiału izotropowego w rozpatrywanym punkcie ciała wyróżnimy kierunek m i jeżeli w tym punkcie jedynie naprężenie σm ≠ 0 (zaś pozostałe składowe naprężenia są równe zero), to współczynnik Poissona:

\nu = -{\varepsilon_n \over \varepsilon_m}

gdzie: ε – odkształcenie, n – dowolny kierunek prostopadły do m

Poisson Coefficient.svg

Jeżeli pręt o średnicy d (lub dowolnym innym charakterystycznym wymiarze, np. szerokości) i długości L zostanie poddany rozciąganiu tak, że wydłuży się o ΔL, to jego średnica zmieni się (zmniejszy się, stąd dla uniknięcia wartości ujemnych współczynnika znak minus we wzorze) o:

\Delta d = - d \cdot \nu {{\Delta L} \over L}
 \nu = - \frac {\Delta d} {d} \frac {L} {\Delta L}

Wzór ten jest słuszny w przypadku małych odkształceń. Jeżeli odkształcenia są znaczne (patrz: duże odkształcenia), to dokładniejsze wyniki daje wzór (w założeniu ν=const):

\Delta d = - d \cdot \left( 1 - {\left( 1 + {{\Delta L} \over L} \right)}^{-\nu} \right)

Powyższe wzory są jednym ze sposobów bezpośredniego wyznaczenia współczynnika Poissona w statycznej próbie rozciągania, chociaż ze względu na niewielkie odkształcenia jest to metoda niedokładna.

Ze względu na zależność opisującą stosunek współczynnika Poissona do modułu Younga i modułu Helmholtza można określić, że[1][2]:

 -1 \leqslant \nu \leqslant {1 \over 2}

W przypadku dwuwymiarowej sprężystości relacja ta przybiera postać:

 -1 \leqslant \nu \leqslant 1 .

Nazwa współczynnika pochodzi od nazwiska Siméon Denis Poissona (1781–1840), francuskiego matematyka.

Metodę określania współczynnika Poissona przedstawia norma ASTM E-132. Współczynnik Poissona można również wyznaczyć przekształcając równianie wiążące ten współczynnik z modułem Younga

 E = 2G \cdot (\nu + 1)

gdzie:

Emoduł Younga,
GModuł sztywności,
\nu – Liczba Poissona.

Po przekształceniach uzyskujemy równanie:

 \nu = {E - 2G \over 2G}
Rozciąganie kostki z materiału o ujemnym współczynniku Poissona.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Finding Young's Modulus and Poisson's Ratio (ang.). [dostęp 2010-05-19].
  2. Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc: Teoria sprężystości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, seria: Fizyka Teoretyczna.