Prawo Hooke’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między naprężeniem wywołanym przez przyłożone siły a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke’a (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (jakie wydłużenie taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv, pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia[edytuj]

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

gdzie:

F – siła rozciągająca,
S – pole przekroju poprzecznego,
E – moduł Younga,
Δl – wydłużenie pręta,
l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

gdzie:

– odkształcenie,
  – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia[edytuj]

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń normalnych (liniowych)
dla odkształceń postaciowych (kątowych)

gdzie:

– składowe odkształcenia normalnego w punkcie,
– naprężenie normalne w punkcie,
– składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,
– naprężenie styczne w punkcie,
– współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
moduł Younga
współczynnik Poissona.

Zapis tensorowy[edytuj]

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako współczynnik proporcjonalności stosuje się tensor sztywności

lub tensor podatności