Przejdź do zawartości

Prawo Hooke’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia[1]. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły[2][3]. Stosunek naprężenia wywołanego przyłożeniem siły do powstałego odkształcenia, jest nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Omawiana zależność pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nieprzekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności) i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Ta prawidłowość została sformułowana przez Roberta Hooke’a w 1660 r. w formie ut tensio sic vis (łac. jakie wydłużenie, taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv[4].

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia

[edytuj | edytuj kod]
Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń dla stali zwykłej z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta[5]. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnik proporcjonalności to moduł Younga E

gdzie:

– siła rozciągająca,
– pole przekroju poprzecznego,
moduł Younga,
– wydłużenie pręta,
– długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

gdzie:

– odkształcenie,
– naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia

[edytuj | edytuj kod]

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego stanu naprężenia w przypadku materiału izotropowego uogólnił w 1822 Augustin Louis Cauchy[2], poniżej podano uogólnioną postać prawa Hooke'a[6], jest ono tu zapisane w postaci układu równań:

dla naprężeń i odkształceń normalnych (liniowych)
dla naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych (kątowych)

gdzie:

– składowe odkształcenia normalnego w punkcie,
– naprężenie normalne w punkcie,
– składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,
– naprężenie styczne w punkcie,
– współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
moduł Younga,
współczynnik Poissona.

Zapis tensorowy

[edytuj | edytuj kod]

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako operator proporcjonalności stosuje się tensor sztywności

lub tensor podatności

gdzie sumowanie odbywa się wg konwencji sumacyjnej Einsteina.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Bielajew N.M., Wytrzymałość materiałów, Wyd. MON, Warszawa 1954
  2. a b Nawrot, Karolczak i Jaworska 2013 ↓, s. 187.
  3. Hooke’a prawo, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29].
  4. Michael A. Nielsen, The Future of Science: Building a Better Collective Memory [online].
  5. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980
  6. Maksymilian Tytus Huber, Stereomechanika techniczna, t. I, Warszawa: PZWS, 1951.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013. ISBN 978-83-7517-210-2.