Metoda wariacyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda wariacyjna – w mechanice kwantowej jedna z dwóch podstawowych (obok rachunku zaburzeń), przybliżonych metod rozwiązywania równania Schrödingera.

Opis metody[edytuj]

W porównaniu z rachunkiem zaburzeń, metoda wariacyjna ma pewną przewagę – może ona być użyta praktycznie do dowolnego układu, nie trzeba na nią nakładać żadnych dodatkowych ograniczeń. Równanie Schrödingera przedstawia się następująco:

Nie można go rozwiązać ściśle, jednak można znaleźć jego przybliżone funkcje i wartości własne. W stanie podstawowym, energię można oznaczyć jako , czyli:

Można teraz założyć, że istnieje pewna funkcja w tej samej przestrzeni co i za jej pomocą można zdefiniować parametr :

Ponieważ funkcje tworzą układ zupełny funkcji ortonormalnych, to funkcję można przedstawić w postaci szeregu:

Jeżeli funkcja φ jest także znormalizowana, to powyższe równania można przedstawić w postaci:

a zatem parametr będzie miał postać:

Jeśli od obu stron równania odjąć wartość otrzyma się:

Wobec zawsze dodatniej prawej strony równania (iloczyn i oraz różnica energii są zawsze dodatnie), lewa strona równania także jest dodatnia. Skoro:

to:

Dla danego hamiltonianu parametr , obliczony za pomocą funkcji jest większy od wartości ścisłej energii. W przypadku, gdy funkcja byłaby ścisłą funkcją własną stanu podstawowego, to wówczas .

Wynik ten w połączeniu ze wzorem jest podstawą metody wariacyjnej. Aby wyznaczyć wartość energii, należy wziąć kilka funkcji , , i obliczyć ich wartości własne , , . Wówczas najniższa wartość , będzie najbliższa dla energii stanu podstawowego. W celu wyznaczenie tych wartości bierze się funkcję zależną od współrzędnych oraz od parametrów , , ..., :

Dla różnych wartości , , ..., otrzymuje się różne funkcje. Następnie należy obliczyć wielkość zależną od parametrów , , ..., :

Znajdując minimum względem parametrów można znaleźć najmniejszą wartość , która będzie najlepszym przybliżeniem energii stanu podstawowego.

Szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej jest metoda Ritza.

Bibliografia[edytuj]