Metoda wariacyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Metoda wariacyjna – w mechanice kwantowej jedna z dwóch podstawowych (obok rachunku zaburzeń), przybliżonych metod rozwiązywania równania Schrödingera.

Opis metody[edytuj | edytuj kod]

W porównaniu z rachunkiem zaburzeń, metoda wariacyjna ma pewną przewagę – może ona być użyta praktycznie do dowolnego układu, nie trzeba na nią nakładać żadnych dodatkowych ograniczeń. Równanie Schrödingera przedstawia się następująco:

Nie można go rozwiązać ściśle, jednak można znaleźć jego przybliżone funkcje i wartości własne. W stanie podstawowym energię można oznaczyć jako czyli:

Można teraz założyć, że istnieje pewna funkcja w tej samej przestrzeni co i za jej pomocą można zdefiniować parametr

Ponieważ funkcje tworzą układ zupełny funkcji ortonormalnych, funkcję można przedstawić w postaci szeregu:

Jeżeli funkcja jest także znormalizowana, to powyższe równania można przedstawić w postaci:

a zatem parametr będzie miał postać:

Jeśli od obu stron równania odjąć wartość otrzyma się:

Wobec zawsze dodatniej prawej strony równania (iloczyn oraz różnica energii są zawsze dodatnie), lewa strona równania także jest dodatnia. Skoro:

to:

Dla danego hamiltonianu parametr obliczony za pomocą funkcji jest większy od wartości ścisłej energii. W przypadku, gdy funkcja byłaby ścisłą funkcją własną stanu podstawowego, to wówczas Jest to tzw. zasada wariacyjna.

Wynik ten w połączeniu ze wzorem jest podstawą metody wariacyjnej. Aby wyznaczyć wartość energii, należy wziąć kilka funkcji i obliczyć ich wartości oczekiwane Wówczas najniższa wartość będzie najbliższa dla energii stanu podstawowego. W celu wyznaczenie tych wartości często bierze się funkcję zależną od współrzędnych oraz od tzw. parametrów wariacyjnych

Dla różnych wartości otrzymuje się różne funkcje. Następnie należy obliczyć wielkość zależną od parametrów

Znajdując minimum względem parametrów można znaleźć najmniejszą wartość która będzie najlepszym przybliżeniem energii stanu podstawowego.

Szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej jest metoda Ritza.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]