Metoda Ritza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda Ritza – w mechanice kwantowej, jedna z metod rozwiązania równania Schrödingera. Nazwa metody pochodzi od nazwiska szwajcarskiego fizyka, Walthera Ritza.

Opis metody[edytuj]

Metoda Ritza jest szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej. W tej metodzie wprowadza się do funkcji próbnej, dodatkowe parametry wariacyjne, gdyż wówczas łatwo jest obliczyć ich optymalne wartości.

Niech funkcja próbna będzie w postaci:

gdzie funkcja jest znana i nie jest ortonormalna. Wybór tej funkcji jest w zasadzie dowolny – powinien jedynie umożliwiać otrzymanie takiego rozmieszczenia cząstek, jakiego spodziewać się można po przesłankach fizycznych i chemicznych danego układu. Po podstawieniu powyższego równania do równania znanego z metody wariacyjnej:

Otrzyma się następujące równanie:

gdzie:

Należy teraz znaleźć minimum z względu na współczynniki i . Są one liczbami zespolonymi, zatem istnieje parametrów i można traktować je jako parametry niezależne. Różniczkując powyższe równanie, względem :

Do znalezienia ekstremum trzeba założyć, że . Zatem, minimalną wartość , oznaczoną jako , otrzyma się z równania:

dla , , ...,

Powyższy układ równań ma proste rozwiązanie dla wszystkich . Aby układ jednorodny nie miał jednego, prostego rozwiązania, wyznacznik zbudowany ze współczynników przy niewiadomych musi być zerowy:

Jest to równanie stopnia . Z tego powodu ma ono pierwiastków dla niewiadomej . Wstawiając określony pierwiastek , , ..., do ww. równania, można otrzymać rozwiązania poprzez znalezienie współczynników , dla danej wartości energii . Jeśli zatem jest najmniejszym pierwiastkiem, to odpowiada on stanowi podstawowemu układu, a współczynniki , określają funkcję falową:

Bibliografia[edytuj]