Nierówność Czebyszewa

Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby. Nazwana na cześć Pafnutija Czebyszewa.

Jedynym warunkiem na rozkład zmiennej losowej jest jej nieujemność (ściślej: zerowe prawdopodobieństwo $P\{X<0\}$ ) Nierówność ta jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienayme jest odpowiednikiem nierówności Czebyszewa także dla zmiennych niespełniających tego warunku i często również jest nazywana po prostu nierównością Czebyszewa, co może prowadzić do nieporozumień.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ taką, że $P\{X<0\}=0,$ zaś $E(X)$ jest jej wartością oczekiwaną. Wówczas dla każdego $\varepsilon >0$ zachodzi:

P\left\{X\geqslant \varepsilon \right\}\leqslant {\frac {E(X)}{\varepsilon }}.

Dowód

Z prawdopodobieństwem 1 zachodzą następujące nierówności:

X\geqslant X\cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}\geqslant \varepsilon \cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}},

gdzie $\mathbf {1} _{A}$ jest funkcją wskaźnikową zdarzenia $A,$ zdefiniowaną jako:

\mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}0\quad dla\ x\notin A\\1\quad dla\ x\in A\end{cases}}.

Pierwsza z nierówności wynika w oczywisty sposób z następujących dwóch nierówności (z których pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1):

X\geqslant 0

oraz

1\geqslant \mathbf {1} _{A}.

Druga nierówność przyjmuje postać:

X\cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}\geqslant \varepsilon \cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}\iff {\begin{cases}0\geqslant 0\quad dla\ X\not \geqslant \varepsilon \\X\geqslant \varepsilon \quad dla\ X\geqslant \varepsilon \end{cases}},

czyli jest oczywista.

Biorąc wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych i korzystając z elementarnych własności wartości oczekiwanej, otrzymujemy łańcuszek nierówności:

E(X)\geqslant E(X\cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}})\geqslant E(\varepsilon \cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}})=\varepsilon \cdot E(\mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}})=\varepsilon \cdot \int \limits _{\Omega }\mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}dP=\varepsilon \cdot P\{X\geqslant \varepsilon \}.

Ostatnia równość wynika z definicji całki Lebesgue’a z funkcji wskaźnikowej. Dzieląc skrajne wyrazy przez $\varepsilon ,$ otrzymujemy nierówność Czebyszewa.

Z nierówności Czebyszewa wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienayme, wykładnicza Czebyszewa.

Zobacz też