Obwód rezonansowy LC

Obwód rezonansowy LC – obwód elektryczny składający się z cewki (L) i kondensatora (C). Obwód może działać jako rezonator elektryczny, jest wówczas elektrycznym odpowiednikiem nietłumionego układu drgań mechanicznych. Układ taki wyprowadzony z równowagi wykonuje drgania swobodne przenosząc energię elektromagnetyczną z częstotliwością rezonansową między cewką a kondensatorem. Pobudzany drganiami okresowymi zachowuje się jak układ drgań wymuszonych, w stanie równowagi wykonuje drgania z częstotliwością pobudzania i amplitudą silnie zależną od częstotliwości.

Stanowi samodzielny obwód elektryczny składający się tylko z kondensatora i cewki. Jest fragmentem większego obwodu elektrycznego, wówczas cewka z kondensatorem może być połączona szeregowo, tworząc szeregowy obwód LC, albo równolegle tworząc równoległy obwód LC.

Jest wyidealizowanym przypadkiem obwodu elektrycznego RLC, ale bez tłumienia wnoszonego przez rezystancję (R). Rzeczywiste obwody zawsze zawierają element tłumiący.

Obwody rezonansowe znajdują szerokie zastosowania w radiotechnice, dzięki faworyzowaniu wąskiego przedziału częstotliwości, są wykorzystywane do generowania sygnałów o określonej częstotliwości, albo do wybierania sygnału o określonej częstotliwości z bardziej złożonego sygnału; ta funkcja nazywa się filtrem pasmowym. Są kluczowymi komponentami wielu urządzeń elektronicznych, w szczególności sprzętu radiowego, stosowanych w układach takich jak oscylatory, filtry i mieszacze.

W obwodzie tym pobudzanym przez drgania okresowe w stanie równowagi z drganiami pobudzającymi zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym).

W stanie rezonansu, prąd i napięcie na zacisku obwodu rezonansowego są zgodne w fazie, a wypadkowa moc bierna pobierana przez obwód jest równa zeru, dlatego reaktancje sinusoidalnie zmienne znoszą swoją wartość poprzez występujący prąd w obwodzie.

Animowany schemat obwodu LC

Drgania obwodu LC

Fazy oscylacji w obwodzie LC

W obwodzie elektrycznym składającym się z kondensatora i cewki indukcyjnej energia może być zgromadzona w kondensatorze i cewce:

$U={\frac {1}{2}}Li^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}.$

Całkowita energia obwodu będąca sumą obu energii jest stała, przez co jej pochodna po czasie jest równa zero. Uwzględniając związek między ładunkiem na kondensatorze a natężeniem prądu uzyskuje się:

${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}q=0.$

Równanie to jest matematycznym odpowiednikiem równania oscylatora harmonicznego. Obwód LC wykonuje drgania swobodne, rozwiązanie równania oraz natężenie prądu można przedstawić jako:

$q(t)=q_{m}\cos(\omega t+\phi ),$

$i(t)=-\omega q_{m}\sin(\omega t+\phi )=-i_{m}\sin(\omega t+\phi )$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}},$

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.$

Kąt fazowy $\phi$ określa warunki panujące w chwili $t=0$. W szczególności jeżeli w chwili początkowej nie płynie prąd w obwodzie a kondensator ma zgromadzony ładunek, to $\phi =0$.

Wzór określający częstość drgań swobodnych obwodu LC jest nazywany wzorem Thomsona,

gdzie:

$L$ – indukcyjność cewki,

$C$ – pojemność kondensatora,

$q$ – ładunek na kondensatorze,

$i$ – natężenie prądu w obwodzie,

$q=\varepsilon C$ – ładunek na kondensatorze,

$\varepsilon$ – różnica potencjałów na kondensatorze lub cewce

$\omega$ – częstość kołowa w radianach/sekundę,

$f$ – częstotliwość obwodu w hercach,

$X_{m}$ – indeks m oznacza wartość maksymalną.

Obwód LC w obwodach prądu przemiennego

Obwód elektryczny złożony z pojemności i indukcyjności może być elementem obwodu prądu przemiennego, jego składniki mogą być połączone szeregowo lub równolegle. W stanie ustalonym w obwodzie płynie prąd o częstotliwości równej częstotliwości pobudzania.

Obwód szeregowy

Impedancja zastępcza Z obwodu szeregowego złożonego z cewki i kondensatora wynosi:

$Z=jX_{L}-jX_{C}=j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right),$

gdzie:

$j$ – jednostka urojona,

$X_{L}$ – reaktancja cewki (induktancja),

$X_{C}$ – reaktancja kondensatora (kapacytancja),

$Z$ – impedancja wypadkowa.

Impedancja szeregowego obwodu LC jest równa zero, gdy reaktancje cewki $X_{L}$ i kondensatora $X_{C}$ są sobie równe co do wartości bezwzględnej. Dla danej pojemności i indukcyjności warunek ten jest spełniony dla częstotliwości równej częstotliwości drgań swobodnych obwodu LC, częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością rezonansową.

Gdy cewka i kondensator połączone są szeregowo i zasilane prądem przemiennym $I,$ to w elementach tych występuje spadek napięcia: $U_{C}$ na kondensatorze, a $U_{L}$ na cewce. Ponieważ przesunięcia faz napięcia względem prądu są w cewce i kondensatorze przeciwne, to napięcie wypadkowe jest różnicą napięć na cewce i kondensatorze, a w stanie rezonansu teoretycznie napięcia te zniosą się zupełnie. W szeregowym obwodzie rezonansowym dla częstotliwości rezonansowej, pomimo tego, że na obwodzie napięcie jest równe 0, to napięcie na cewce i na kondensatorze są różne od zera i mogą osiągać bardzo duże wartości.

Rezonans prądów

Rezonans prądów następuje wtedy, gdy susceptancja układu jest równa zero. Susceptancje poszczególnych gałęzi obwodu (susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna) są sobie równe: $B_{L}=B_{C}.$

Gdy układ taki zasilany jest napięciem zmiennym $U,$ to popłyną przez elementy prądy: $I_{C}$ przez kondensator, a $I_{L}$ przez cewkę. Ponieważ prądy te mają przeciwne fazy, to znoszą się wzajemnie i sumaryczny prąd $I$ jest mniejszy od sumy prądów $I_{C}$ i $I_{L}.$ Dla pewnej częstotliwości, gdy prąd cewki równa się prądowi kondensatora prądy te zniosą się zupełnie i prąd $I$ będzie równy zeru – zachodzi rezonans prądów, a obwód rezonansowy przestaje pobierać prąd ze źródła – staje się przerwą w obwodzie, czyli ma nieskończenie dużą oporność (prądy w rzeczywistym kondensatorze i cewce nie są jednak równe zeru i mogą osiągać duże wartości).

Zobacz też

• dobroć

Bibliografia

• Stanisław Bolkowski: Teoria obwodów Elektrycznych. Wyd. IV. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, s. 150–157. ISBN 83-204-1841-0.