Operator położenia

Operator położenia – w mechanice kwantowej obserwabla opisująca położenie obiektu kwantowego. Przejście od położenia do operatora położenia jest nazywane pierwszym kwantowaniem.

Notacja Diraca

W notacji Diraca wektor własny operatora położenia $\mathbf {x}$ z wartością własną $x$ oznacza się $|x\rangle ,$ czyli

$\mathbf {x} |x\rangle =x|x\rangle .$

Stąd działanie operatora położenia na dowolny stan możemy zapisać jako

$\mathbf {x} |\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\mathbf {x} |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'x'\psi (x')|x'\rangle ,$

gdzie $\psi (x')=\langle x'|\psi \rangle$ jest funkcją falową stanu $|\psi \rangle$ w reprezentacji położeniowej.

Reprezentacja położeniowa i pędowa

Z powyższego wzoru otrzymujemy, że działanie operatora składowej $i$ położenia ${\hat {x}}_{i}$ w reprezentacji położeniowej odpowiada po prostu mnożeniu funkcji falowej przez $x_{i}.$ Natomiast w reprezentacji pędowej operator składowej $i$ położenia ma postać

${\hat {x}}_{i}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial {p_{i}}}}$

Wektorowy operator położenia ma postać:

${\bar {x}}=i\hbar {\overline {\nabla }}_{p}$

gdzie ${\overline {\nabla }}$ nazywany jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu

Ważną cechą kwantowego operatora położenia jest to, że nie komutuje on z operatorem pędu. Operatory te spełniają relację komutacyjną

$[x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}.$

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności.

Zobacz też

• obserwabla
• operator całkowitej energii (operator Hamiltona)
• operator pędu
• operator momentu pędu
• operator spinu