Notacja Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Funkcja falowa  ·

Stan kwantowy  · Stan podstawowy  · Stan stacjonarny  · Równanie własne  · Cząstka w pudle potencjału  · Cząstki identyczne  · Kwantowy oscylator harmoniczny  · Spin  · Superpozycja  · Liczby kwantowe  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie

Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – sposób zapisu wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca[1] do mechaniki kwantowej, służący do zapisywania stanów kwantowych. Stan układu, będący wektorem z przestrzeni Hilberta, zapisuje się za pomocą znaku pionowej kreski „|” i nawiasu trójkątnego „〉”, na przykład . Oznaczenie to nazywa się ket. Natomiast stan sprzężony hermitowsko do niego oznacza się przez , czyli bra.

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu . Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym prawie 100 lat wcześniej.

Przestrzeń wektorowa[edytuj]

Wstęp[edytuj]

 Osobny artykuł: Przestrzeń wektorowa.

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowskiej na ciele liczb rzeczywistych, co zapiszemy: .

Wektor może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

gdzie, to wektory jednostkowe, a odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem , gdzie to lub , co można zapisać jako: , wektor jest nadal kombinacja liniową wektorów bazowych:

Jednak może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń .

Notacja ket[edytuj]

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: . Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

Co można zapisać w skrócie

gdzie oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe .

Iloczyn skalarny i notacja ket[edytuj]

 Osobny artykuł: iloczyn skalarny.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej

gdzie oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy , iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, "bra" i "ket"

gdzie nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierze[edytuj]

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice-versa:

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

otrzyma się:

Bra jako operator liniowy na ket[edytuj]

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.

Zastosowanie w mechanice kwantowej[edytuj]

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

  • Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być "Elektron znajduje się w stanie".(Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c)
  • Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu jest superpozycją stanów i .

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

Oznaczenia w notacji Diraca[edytuj]

  • wektory bazowe oznacza się: , gdzie n=0,1,2, ...
  • wektory bazowe sprzężone hermitowsko: oraz ,
  • iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej i wektorów z bazy  :
,
,
  • iloczyn tensorowy wektorów bazowych:
,
,
,
,
  • sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:
,
,
  • wektor o współrzędnych zapisany w bazie  :
,
  • Inne wektory bazowe można oznaczyć , na przykład:
,
,
,
,
  • Operatory (macierze) oznacza się , na przykład operator jednostkowy:
,
.

Przypisy

  1. PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics. „Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 35 (3), s. 416-418, 1939. DOI: 10.1017/S0305004100021162. 

Linki zewnętrzne[edytuj]