Operator pędu

Operator pędu – jeden z operatorów wprowadzanych przez mechanikę kwantową; wartości własne tego operatora określają możliwe wartości pędu cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest operatorem hermitowskim (samosprzężonym) zdefiniowanym na przestrzeni Hilberta.

Reprezentacja pędowa operatora pędu

Operator pędu ${\hat {p}}$ definiuje się następująco: działając na stan własny $|p\rangle$ operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę $p,$ zwaną wartością własną

{\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle .

Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności

p(x)=\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\exp \left({\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}px\right).

Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż

\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)^{*}p(x)\mathrm {d} x=+\infty .

Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości $|p\rangle$ jako wektory własne operatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów $|p\rangle$ może być traktowany jak baza ortonormalna, przy czym iloczyn skalarny dowolnych wektorów $|p'\rangle ,|p\rangle$ spełnia zależność

\langle p'|p\rangle =\delta (p-p'),

gdzie $\delta$ – delta Diraca.

(Ściśle wektory $|p\rangle$ nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji ${\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} )$ całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór $\{|p\rangle |p\in \mathbb {R} \}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się $|p\rangle$ jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).

Dowolny stan $|\psi \rangle$ przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco

|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle .

Wielkość $\psi (p')\equiv \langle p'|\psi \rangle$ jest funkcją falową stanu $|\psi \rangle$ w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu $p'.$

Korzystając z bazy $\{|p'\rangle \}$ wektorów własnych działanie danego operatora ${\hat {p}}$ na stan $|\psi \rangle$ możemy obliczyć następująco:

{\hat {p}}|\psi \rangle \equiv |\psi '\rangle ={\hat {p}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ |p'\rangle \langle p'|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ {\hat {p}}|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ p'|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ \mathrm {\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}} \ \langle p'|\psi \rangle \ p'|p'\rangle .

Stan $|\psi \rangle$ pod wpływem działania operatora ${\hat {p}}$ przechodzi więc w inny stan $|\psi '\rangle ,$ który jest sumą (całką) po stanach $|p'\rangle$ z amplitudami ${\frac {1}{2\pi \hbar }}p'\langle p'|\psi \rangle .$ Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie $|\psi \rangle$ otrzyma się wartość pędu $p'$ z gęstością prawdopodobieństwa

P(p')=\left|{\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\langle p'|\psi \rangle \right|^{2}.

Reprezentacja położeniowa operatora pędu

1) Powyżej podany wzór ${\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle$ oznacza, że działanie składowej ${\hat {p}}_{i},i=x,y,z$ operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez $p_{i}.$

2) W reprezentacji położeniowej składowa ${\hat {p}}_{i}$ operatora pędu ma postać

{\hat {p}}_{i}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}.

3) Wektorowy operator pędu ${\boldsymbol {\hat {p}}}$ definiuje się jako wektor utworzony z operatorów ${\hat {p}}_{i},$ tj.

{\boldsymbol {\hat {p}}}=[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}].

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:

{\boldsymbol {\hat {p}}}=-\mathrm {i} \hbar {\nabla },

gdzie:

\nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]

jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=\mathrm {i} \hbar \delta _{ij}.

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów ${\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}$ musi być operatorem nieograniczonym.

Zobacz też