Operator pędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W mechanice kwantowej pęd jest opisywany przez obserwablę - operator pędu. Przejście od pędu do operatora pędu jest nazywane pierwszym kwantowaniem. Matematycznie, operator pędu jest nieograniczonym operatorem samosprzężonym na ośrodkowej przestrzeni Hilberta.

Notacja Diraca[edytuj]

W notacji Diraca wektor własny operatora pędu z wartością własną oznacza się symbolem . Operator ten spełnia równanie własne:

Matematycznie operator pędu nie ma wektorów własnych, gdyż rozwiązanie powyższego równania prowadzi do wniosku iż funkcja ta nie jest całkowalna w kwadracie. Jednak w praktyce jest ona traktowana jako wektor własny przestrzeni Hilberta. Zbiór wszystkich wektorów może być traktowany jak baza ortonormalna, w której . Warto tu podkreślić, że matematycznie nie jest to baza, gdyż przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zbiór jest zbiorem nieprzeliczalnym. Często ignorowanie tego faktu nie prowadzi do nieprawdziwych wniosków. Formalnie, każde rozumowanie, w którym traktowano jako wektory bazy ortonormalnej, wymaga osobnej weryfikacji.

Stąd działanie operatora położenia na dowolny stan możemy zapisać jako

,

gdzie jest funkcją falową stanu w reprezentacji pędowej.

Reprezentacja położeniowa i pędowa[edytuj]

1) Powyżej podany wzór oznacza, że działanie składowej operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez .

2) W reprezentacji położeniowej składowa operatora pędu ma postać

Wektorowy operator pędu definiuje się jako wektor utworzony z operatorów , tj.

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:

gdzie:

jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu[edytuj]

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

.

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów musi być operatorem nieograniczonym.