Operator pędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator pędu - jeden z operatorów wprowadzanych przez mechanikę kwantową; wartości własne tego operatora określają możliwe wartości pędu cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest operatorem hermitowskim (samosprzężonym) zdefiniowanym na przestrzeni Hilberta.

Reprezentacja pędowa operatora pędu[edytuj | edytuj kod]

Operator pędu definiuje się następująco: działając na stan własny operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę , zwaną wartością własną

Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności

Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż

Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości jako wektory własne oparatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów może być traktowany jak baza ortonormalna, przy czym iloczyn skalarny dowolnych wektorów spełnia zależność

gdzie - delta Diraca

(Ściśle wektory nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności.)

Dowolny stan przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco

Wielkość jest funkcją falową stanu w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu .

Korzystając z bazy wektorów własnych działanie danego operatora na stan możemy obliczyć następująco:

Stan pod wpływen działania operatora przechodzi więc w inny stan , który jest sumą (całką) po stanach z amplitudami . Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie otrzyma się wartość pędu z gęstością prawdopodobieństwa

Reprezentacja położeniowa operatora pędu[edytuj | edytuj kod]

1) Powyżej podany wzór oznacza, że działanie składowej operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez .

2) W reprezentacji położeniowej składowa operatora pędu ma postać

3) Wektorowy operator pędu definiuje się jako wektor utworzony z operatorów , tj.

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:

gdzie:

jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu[edytuj | edytuj kod]

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

.

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów musi być operatorem nieograniczonym.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]