Połączenie Leviego-Civity

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Połączenie Levi-Civita)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przesuwanie równoległe wektora według procedury Leviego-Civity
Transport zadany metryką ds2 = dr2 + dθ2.
Transport zadany metryką ds2 = dr2 + r2dθ2.

Połączenie (spójność, koneksja) Leviego-Civity – specyficzne połączenie na wiązce stycznej rozmaitości. Precyzyjniej, to nieskręcone (torsion-free) połączenie metryczne, w szczególności nieskręcone połączenie na wiązce stycznej (połączenie afiniczne) zachowujące zadaną (pseudo-)Riemannowską metrykę.

Podstawowa teoria geometrii Riemanna postuluje, że istnieje unikalne połączenie spełniające te właściwości.

W teorii rozmaitości Riemanna oraz pseudo-rozmaitości pojęcie pochodna kowariantna jest często używane w odniesieniu do połączenia Leviego-Civity. Składowe tego połączenia w odniesieniu do lokalnego układu współrzędnych nazywane są symbolami Christoffela.


Definicja formalna[edytuj]

Załóżmy, że (M,g), będzie rozmaitością riemannowską (lub pseudo-riemannowską). Wtedy połączenie afiniczne ∇ jest nazywane połączeniem Leviego-Civity gdy:

1. zachowuje metrykę, w szczególności - ∇ g = 0.
2. nie jest skręcone (torsion-free), tj. dla każdego pola wektorowego X i Y otrzymujemy ∇XY - ∇YX = [X,Y], gdzie [X,Y] to Nawias Liego pól wektorowych X oraz Y.

Powyższy warunek 1 jest czasami nazywany jako kompatybilność z metryką, a warunek 2 nazywany symetrią.

Zakładając istnienie połączenia Leviego-Civity, to jest ono unikalnie określone. Używając warunku 1 oraz symetrii tensora metrycznego g otrzymujemy:

Z warunku 2 lewa strona równania jest równa:

więc otrzymujemy:

Ponieważ Z jest bezwzględne, to determinuje . Odwrotnie, używając ostatniej linii jako definicji pokazano, że wyrażenie tak zdefiniowane jest połączeniem kompatybilnym z metryką, tj. jest połączeniem Levi-Civita.

Bibliografia[edytuj]

  • Kobayashi: Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons, 1963. ISBN 0470496479.