Połączenie Leviego-Civity

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Połączenie Levi-Civita)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Przesuwanie równoległe wektora według procedury Leviego-Civity
Transport zadany metryką ds2 = dr2 + 2.

Połączenie (spójność, koneksja) Leviego-Civity – metoda obliczania przesunięcia równoległego wektorów i tensorów zdefiniowana na wiązce stycznej rozmaitości, która zachowuje metrykę i jest pozbawiona torsji (skręcenia), podana przez Leviego-Civitę.

Przesuwanie równoległe wektora według procedury Leviego-Civity
Transport zadany metryką ds2 = dr2 + r22.

Podstawowe twierdzenie geometrii Riemanna stwierdza, że dla każdej rozmaitości riemannowskiej i pseudo-riemannowskiej istnieje unikalne połączenie o takich właściwościach.

Pojęcie połączenia Leviego-Civity łączy się ściśle z pojęciempochodnej kowariantnej na rozmaitości. Składowe tego połączenia w odniesieniu do lokalnego układu współrzędnych nazywane są symbolami Christoffela.


Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest rozmaitością riemannowską pseudo-riemannowską. Połączenie afiniczne ∇ jest nazywane połączeniem Leviego-Civity gdy:

1. zachowuje metrykę, tzn.
2. nie maa skręcenia, tj. dla każdego pola wektorowego otrzymujemy
gdzie to nawias Liego pól wektorowych oraz

Warunek 1 jest nazywany jako kompatybilnością z metryką, a warunek 2 nazywany jest symetrią.

Połączenie Leviego-Civity jest unikalnie określone dla danej rozmaitości. Używając warunku 1 oraz symetrii tensora metrycznego otrzymuje się

Z warunku 2 lewa strona równania jest równa

więc

Ponieważ Z jest bezwzględne, to determinuje .

Odwrotnie, używając ostatniej linii jako definicji pokazano, że wyrażenie tak zdefiniowane jest połączeniem kompatybilnym z metryką, tj. jest połączeniem Levi-Civita.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kobayashi: Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons, 1963. ISBN 0-470-49647-9.