Rozmaitość riemannowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – to rzeczywista rozmaitość różniczkowa (M, g), w której dodatkowo zadano tensor metryczny g(x) dodatnio określony w każdym punkcie x rozmaitości,

Tensor metryczny Riemanna pozwala zdefiniować różne wielkości geometryczne na rozmaitości, jak: kąty, długości krzywych, pola powierzchni, objętości, krzywizny, gradienty funkcji czy dywergencje, rotacje pól wektorowych.

Odległość (metryka) d(x, y) między każdymi dwoma punktami x, y rozmaitości jest zdefiniowana jako długości najkrótszej krzywej spośród krzywych, które przechodzą przez dane punkty x, y.

Nazwana pochodzi od Bernharda Riemanna.

Wprowadzenie[edytuj]

W 1827 roku Carl Friedrich Gauss udowodnił swoje twierdzenie wyborne (theorema egregium), dotyczące powierzchni dwuwymiarowych. Twierdzenie to mówi, że własności geometryczne powierzchni, jak np. krzywizna powierzchni, kąty między krzywymi, pola powierzchni mogą być całkowicie określone za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, zdefiniowanych na tej powierzchni, bez konieczności odwoływania się do przestrzeni trójwymiarowej, w której powierzchnia jest zanurzona.[1] Bernhard Riemann rozszerzył teorię Gaussa do przestrzeni wielowymiarowych, nazywanych rozmaitościami. Zrobił to w sposób wewnętrzny dla rozmaitości, bez umieszczania jej w przestrzeni posiadającej więcej wymiarów. Albert Einstein użył teorii rozmaitości Riemanna do rozwinięcia Ogólnej Teorii Względności.

Podstawowe właściwości[edytuj]

Wiązka styczna rozmaitości różniczkowalnej M przypisuje każdemu stałemu punktowi M przestrzeń wektorową nazywaną przestrzenią styczną. Każda przestrzeń styczna może być wyposażona w przestrzeń unitarną. Jeżeli zbiór takich przestrzeni unitarnych na stycznej wiązce rozmaitości podlega regularnym zmianom na rozmaitości, to pomysł zdefiniowania ich tylko punktowo na każdej stycznej przestrzeni może być rozszerzony analogicznie na skończone obszary rozmaitości.

Przykład: krzywa regularna α(t):[0,1] → M , gdzie t - parametr krzywej, ma wektor styczny w przestrzeni stycznej TM(α(t)) dla każdej liczby t0 ∈ (0,1); długość wektora stycznego wynosi ||α'(t)||, gdzie ||·|| oznacza normę wprowadzoną przez przestrzeń unitarną na TM(α(t0)). Całka z długości wektorów stycznych wzdłuż krzywej α da w wyniku jej długość:

Regularność α(t) dla t [0,1] gwarantuje, że całka L(α) istnieje oraz długość krzywej jest zdefiniowana.

W wielu przypadkach w odniesieniu do przejścia od liniowo-algebraicznej formy do różniczkowo-geometrycznej wymaganie regularności jest bardzo ważnym warunkiem.

Każda regularna podrozmaitość na Rn posiada wewnętrzną metrykę g: będącą przestrzenią unitarną na każdej stycznej przestrzeni jest ona ograniczeniem przestrzeni unitarnej na Rn. Podążając za teorią osadzenia Nasha każda rozmaitość riemannowska może zostać przedstawiona w ten sposób. W szczególności można zdefiniować rozmaitość riemannowską jako miarę przestrzeni, która jest izometryczna do regularnej podrozmaitości Rn, z wewnętrzną metryką, gdzie izometria oznacza tutaj zachowanie długości krzywych.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN,1974, s. 317.

Bibliografia[edytuj]

  • A. Goetz: Geometria różniczkowa. Warszawa: PWN, 1965.
  • M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Sufraces. Prentice Hall, 1986.
  • M. do Carmo: Riemannian geometry. Boston: Basel, 1992. ISBN 9780817634902.97k
  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN,1974.

Przypisy[edytuj]