Rozmaitość riemannowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – to rzeczywista rozmaitość różniczkowa z dodatnio określonym tensorem metrycznym w każdym punkcie rozmaitości.

Tensor metryczny pozwala obliczać inne wielkości geometryczne na rozmaitościː długości krzywych, pola powierzchni, objętości, krzywizny (krzywych, powierzchni, przestrzeni), kąty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje pól wektorowych, a także zapisywać równania obiektów geometrycznych, np. krzywych, powierzchni, itp. zawartych w rozmaitości.

Rozmaitość riemannowska jest przestrzenią metryczną. Metrykę (odległość) punktów rozmaitości definiuje się jako długość najkrótszej krzywej zawartej w i przechodzącej przez punkty .

Nazwana rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna.

Wprowadzenie[edytuj]

W 1827 roku Carl Friedrich Gauss udowodnił swoje twierdzenie wyborne (theorema egregium), dotyczące powierzchni dwuwymiarowych. Twierdzenie to mówi, że własności geometryczne powierzchni, jak np. krzywizna powierzchni, kąty między krzywymi, pola powierzchni mogą być całkowicie określone za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, zdefiniowanych na tej powierzchni, bez konieczności odwoływania się do przestrzeni trójwymiarowej, w której powierzchnia jest zanurzona[1].

Bernhard Riemann rozszerzył teorię Gaussa do przestrzeni wielowymiarowych, nazywanych rozmaitościami. Zrobił to w sposób wewnętrzny dla rozmaitości, bez umieszczania jej w przestrzeni posiadającej więcej wymiarów.

Albert Einstein użył teorii rozmaitości Riemanna do rozwinięcia ogólnej teorii względności.

Podstawowe pojęcia[edytuj]

Przestrzeń styczna[edytuj]

Każdemu punktowi rozmaitości można przypisać przestrzeń styczną (przestrzeń euklidesową o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości, o bazie utworzonej z wektorów stycznych do rozmaitości w punkcie ). Każda przestrzeń styczna może zostać przekształcona w przestrzeń unitarną, jeżeli zdefiniuje się w niej iloczyn skalarny wektorów.

Wiązka styczna. Wiązka styczna unitarna.[edytuj]

Zbiór przestrzeni stycznych tworzy wiązkę styczną rozmaitości

Jeżeli zbiór przestrzeni unitarnych na stycznej wiązce rozmaitości podlega regularnym zmianom na rozmaitości, to pomysł zdefiniowania ich tylko punktowo na każdej stycznej przestrzeni może być rozszerzony analogicznie na skończone obszary rozmaitości.

Krzywa w rozmaitości[edytuj]

Niech będzie krzywą regularną; - parametr krzywej.

Dla każdej liczby można znaleźć wektory styczne

znajdujące się w przestrzeniach stycznych rozmaitości w punktach krzywej.

Długość wektora stycznego wynosi

,

gdzie oznacza normę wprowadzoną przez przestrzeń unitarną na każdej wiązce stycznej .

Liczby określają wartości wektora prędkości poruszania się po krzywej, jeżeli parametr interpretować jako czas. Stąd długość krzywej można obliczyć jako całkę liczb

Regularność dla gwarantuje, że całka istnieje.

Teoria osadzenia Nasha[edytuj]

Każda regularna podrozmaitość na Rn posiada wewnętrzną metrykę g: będącą przestrzenią unitarną na każdej stycznej przestrzeni jest ona ograniczeniem przestrzeni unitarnej na Rn. Podążając za teorią osadzenia Nasha każda rozmaitość riemannowska może zostać przedstawiona w ten sposób. W szczególności można zdefiniować rozmaitość riemannowską jako miarę przestrzeni, która jest izometryczna do regularnej podrozmaitości Rn, z wewnętrzną metryką, gdzie izometria oznacza tutaj zachowanie długości krzywych.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN,1974, s. 317.

Bibliografia[edytuj]

  • A. Goetz: Geometria różniczkowa. Warszawa: PWN, 1965.
  • M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Sufraces. Prentice Hall, 1986.
  • M. do Carmo: Riemannian geometry. Boston: Basel, 1992. ISBN 9780817634902.97k
  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN,1974.

Przypisy[edytuj]