Baza standardowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Każdy trójwymiarowy wektor a jest kombinacją liniową wektorów bazy standardowej i, j oraz k.

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

Powyższe wektory wskazują odpowiednio kierunki osi . Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

,
,
,
.

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

gdzie skalary składowymi wektora .

W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje różnych wektorów bazy standardowej

gdzie oznacza wektor z na -tej współrzędnej i wszędzie indziej.

Własności[edytuj]

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

Uogólnienia[edytuj]

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

,

gdzie jest dowolnym zbiorem, a to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli i równy jedności, jeśli . Rodzina ta jest bazą kanoniczną -modułu (modułu wolnego) wszystkich rodzin z w pierścień , które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że to , czyli jedność w .

Inne[edytuj]

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge'a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0521276357.
  • Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1558605940.