Podgrupa Frattiniego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Podgrupa Frattiniegoczęść wspólna wszystkich maksymalnych podgrup danej grupy. W przypadku gdy dana grupa nie posiada podgrup maksymalnych, jest ona równa swojej podgrupie Frattiniego. Często stosuje się równoznaczą definicję tej podgrupy jako zbioru elementów niegenerujących.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie grupą. jest podgrupą maksymalną jeśli nie istnieje taka grupa , że . Podgrupą Frattiniego nazywamy część wspólną wszystkich podgrup maksymalnych .

Zbiór elementów niegenerujących[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem wszystkich elementów niegenerujących w , tj. takich , że jeżeli pozdzbiór zawierający generuje to też generuje . Wówczas zbiór pokrywa się z .

Dowód

  • .
    Jeśli nie zawiera podgrup maksymalnych – inkluzja jest oczywista. Niech . Niech będzie podgrupą maksymalną. Jeśli to ( jest podgrupą maksymalną nie zawierającą , zatem wspólnie generują całą przestrzeń). Ale co stoi w sprzeczności z tym, że jest elementem niegenerującym. Czyli musi należeć do każdej podgrupy maksymalnej. Stąd .


  • Niech istnieje element który wraz z pewnym zbiorem generuje , lecz . Na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna istnieją podgrupy maksymalne wśród podgrup zawierających i niezawierających . Jest jasne, że wszystkie takie podgrupy są po prostu maksymalne, lecz wówczas zawierają one a wraz z nią element co stoi w sprzeczności z konstrukcją.

    Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W grupie , wszystkie podrupy generowane przez liczbę pierwszą są maksymalne. Zatem .
  • W grupie wszystkie elementy są niegenerujące, dlatego .

    Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

    • Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: PWN, 1976, s. 24-25.