Zbiór generatorów grupy

Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).

Ogólniej, jeżeli S jest podzbiorem grupy G to podgrupa generowana przez S, oznaczana symbolem ‹ S › jest najmniejszą podgrupą grupy G zawierającą każdy element zbioru S, czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy S równoważnie ‹ S › to podgrupa tych wszystkich elementów G, które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów S i ich odwrotności.

Gdy G = ‹ S ›, to mówi się, że S generuje G elementy S nazywa się wtedy generatorami grupy G Jeśli S jest zbiorem pustym, to ‹ S › jest grupą trywialną {e}.

Jeśli S zawiera tylko jeden element x to zwykle pisze się ‹ x › (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku ‹ x › jest podgrupą cykliczną potęg x która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grup ta jest generowana przez x. O tym, że x generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż ‹ x › jest równe całej grupie G. Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż x ma rząd równy |G|.

Grupy skończenie generowane

W przypadku, gdy zbiór S ⊆ G jest skończony, grupę G = ‹ S › nazywa się skończenie generowaną. Gdy grupa skończona jest generowana przez podzbiór S, to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem S o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).

• Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ ‹ G › = G.
• Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez 1 jak i -1. Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli p i q są względnie pierwsze, to na mocy tożsamości Bézouta

$\langle p,q\rangle =\mathbb {Z}$$\langle p,q\rangle =\mathbb {Z}$.

Grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów.

• Żadna grupa nieprzeliczalna nie jest skończenie generowana.
• Gdy G jest grupą skończenie generowaną oraz N jest jej podgrupą normalną, to grupa ilorazowa G / N jest również skończenie generowana.
• Podgrupy grup skończenie generowanych nie muszą być skończenie generowane. Na przykład, niech G oznacza grupę wolną o dwóch generatorach, x i y oraz niech S będzie podzbiorem G składającym się ze wszystkich elementów postaci yⁿxy^-n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Podgrupa ‹ S › ⊆ G nie jest skończenie generowana. Podgrupy skończenie generowanych grupy abelowych są skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.

Podgrupa Frattiniego

Interesującym tematem pobocznym jest zagadnienie nie-generatorów. Element $x$$x$ grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór $S$$S$ zawierający $x$$x$ dalej generuje $G$$G$ jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest $0$$0$. Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w $G$$G$ nazywaną podgrupą Frattini.

Przykłady

Grupa elementów odwracalnych $\operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9})$$\operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9})$ to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z $9$$9$ względem mnożenia modulo $9,$$9,$ tzn. liczb ze zbioru $\{1,2,4,5,7,8\}$$\{1,2,4,5,7,8\}$ z arytmetyką modulo $9.$$9.$ Siódemka nie jest generatorem $\operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9}),$$\operatorname {U} (\mathbb {Z} _{9}),$ gdyż

$\{7^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},$$\{7^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},$

podczas gdy dwójka jest, ponieważ

$\{2^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.$$\{2^{n}{\pmod {9}}\colon n\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.$

Z drugiej strony, dla $n>2$$n>2$ grupa symetryczna stopnia $n$$n$ nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje $(1\ 2)$$(1\ 2)$ oraz $(1\ 2\ \dots \ n).$$(1\ 2\ \dots \ n).$ Przykładowo dla $S_{3}$$S_{3}$ jest:

${\begin{aligned}e&=(1\ 2)(1\ 2),\\(1\ 2)&=(1\ 2),\\(1\ 3)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3),\\(2\ 3)&=(1\ 2\ 3)(1\ 2),\\(1\ 2\ 3)&=(1\ 2\ 3),\\(1\ 3\ 2)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2).\end{aligned}}$${\begin{aligned}e&=(1\ 2)(1\ 2),\\(1\ 2)&=(1\ 2),\\(1\ 3)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3),\\(2\ 3)&=(1\ 2\ 3)(1\ 2),\\(1\ 2\ 3)&=(1\ 2\ 3),\\(1\ 3\ 2)&=(1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2).\end{aligned}}$

Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu, $1.$$1.$ Element $2$$2$ nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy $\{3,5\}$$\{3,5\}$ dla odmiany generuje tę grupę, gdyż $(-5)+3+3=1$$(-5)+3+3=1$ (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).

Zobacz też

• graf Cayleya
• zbiór generatorów dla innych struktur
• prezentacja grupy

Bibliografia

• Serge Lang: Algebra. Wyd. trzecie popr.. T. 211. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. MR1878556. ISBN 978-0-387-95385-4.

Linki zewnętrzne

• Mathworld: Generatory grupy