Zbiór generatorów grupy
Zbiór generatorów grupy – podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to taki podzbiór grupy, że każdy element grupy można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).
Ogólniej, jeżeli S jest podzbiorem grupy G to podgrupa generowana przez S, oznaczana symbolem ‹ S › jest najmniejszą podgrupą grupy G zawierającą każdy element zbioru S, czyli częścią wspólną wszystkich podgrup zawierających elementy S równoważnie ‹ S › to podgrupa tych wszystkich elementów G, które mogą być przedstawione jako skończony iloczyn elementów S i ich odwrotności.
Gdy G = ‹ S ›, to mówi się, że S generuje G elementy S nazywa się wtedy generatorami grupy G Jeśli S jest zbiorem pustym, to ‹ S › jest grupą trywialną {e}.
Jeśli S zawiera tylko jeden element x to zwykle pisze się ‹ x › (z tego zapisu korzysta się także dla skończonej liczby generatorów). W tym przypadku ‹ x › jest podgrupą cykliczną potęg x która jest grupą cykliczną; mówi się wtedy, że grup ta jest generowana przez x. O tym, że x generuje grupę można równoważnie powiedzieć, iż ‹ x › jest równe całej grupie G. Dla grup skończonych jest to także równoważne stwierdzeniu, iż x ma rząd równy |G|.
Grupy skończenie generowane[edytuj | edytuj kod]
W przypadku, gdy zbiór S ⊆ G jest skończony, grupę G = ‹ S › nazywa się skończenie generowaną. Gdy grupa skończona jest generowana przez podzbiór S, to każdy element grupy można przedstawić w postaci słowa nad alfabetem S o długości nie większej niż rząd grupy (zob. gramatyka formalna).
- Każda grupa skończona jest skończenie generowana, ponieważ ‹ G › = G.
- Liczby całkowite z dodawaniem są przykładem grupy nieskończonej, która jest skończenie generowana tak przez 1 jak i -1. Zbiorami generatorów grupy mogą być jej różne podzbiory; przykładowo, jeżeli p i q są względnie pierwsze, to na mocy tożsamości Bézouta
- .
- Grupa liczb wymiernych z dodawaniem nie mają skończonego zbioru generatorów.
- Żadna grupa nieprzeliczalna nie jest skończenie generowana.
- Gdy G jest grupą skończenie generowaną oraz N jest jej podgrupą normalną, to grupa ilorazowa G / N jest również skończenie generowana.
- Podgrupy grup skończenie generowanych nie muszą być skończenie generowane. Na przykład, niech G oznacza grupę wolną o dwóch generatorach, x i y oraz niech S będzie podzbiorem G składającym się ze wszystkich elementów postaci ynxy-n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Podgrupa ‹ S › ⊆ G nie jest skończenie generowana. Podgrupy skończenie generowanych grupy abelowych są skończenie generowana. Można powiedzieć więcej: klasa wszystkich grup skończenie generowanych jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Aby się o tym przekonać, wystarczy wziąć zbiór generatorów (skończenie generowanej) podgrupy normalnej i ilorazu grupy przez nią: wówczas generatory podgrupy normalnej wraz z przeciwobrazami generatorów ilorazu generują grupę.
Grupy wolne[edytuj | edytuj kod]
Podgrupa Frattiniego[edytuj | edytuj kod]
Element grupy nazywa się nie-generatorem, jeżeli każdy zbiór zawierający dalej generuje jeśli usunąć z niego ten element. Jedynym nie-generatorem grupy liczb całkowitych z dodawaniem jest . Zbiór wszystkich nie-generatorów tworzy podgrupę w nazywaną podgrupą Frattiniego.
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
Grupa elementów odwracalnych to grupa wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych z względem mnożenia modulo tzn. liczb ze zbioru z arytmetyką modulo Siódemka nie jest generatorem gdyż
podczas gdy dwójka jest, ponieważ
Z drugiej strony, dla grupa symetryczna stopnia nie jest cykliczna, tzn. nie jest generowana przez żaden pojedynczy element. Mimo to generowana jest przez dwie permutacje oraz Przykładowo dla jest:
Grupy nieskończone również mogą mieć skończone zbiory generatorów. Zbiór generatorów grupy addytywnej liczb całkowitych składa się z jednego elementu, Element nie generuje tej grupy, gdyż brakowałoby w niej liczb nieparzystych. Zbiór dwuelementowy dla odmiany generuje tę grupę, gdyż (w istocie każda para liczb względnie pierwszych generuje tę grupę na mocy tożsamości Bézouta).
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
- graf Cayleya
- zbiór generatorów dla innych struktur
- prezentacja grupy
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Serge Lang: Algebra. Wyd. trzecie popr.. T. 211. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. MR1878556. ISBN 978-0-387-95385-4.