Podnoszenie i opuszczanie wskaźników

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Dla danego tensora z rozmaitości M z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru (k, l) na tensor wymiaru (k + 1, l - 1) (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru (k - 1, l + 1) (opuścić indeks).

Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie skrócenie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki:

g^{ij} A_j = A^i,

a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je:

g_{ij} A^j = A_i.

Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych:

g^{ij} g_{jk} = g_{kj}g^{ji} = \delta_k^i,

gdzie \deltadelta Kroneckera odpowiadająca macierzy jednostkowej.

Należy zauważyć, że nieosobliwość g_{ij} nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika. Jednak aby możliwe było obliczenie g^{ij} i podwyższenie wskaźnika dowolnego tensora, macierz g_{ij} musi być nieosobliwa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]