Podnoszenie i opuszczanie wskaźników

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Dla danego tensora z rozmaitości z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru na tensor wymiaru (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru (opuścić indeks).

Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie skrócenie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki:

,

a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je:

.

Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych:

,

gdzie delta Kroneckera odpowiadająca macierzy jednostkowej.

Należy zauważyć, że nieosobliwość nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika. Jednak aby możliwe było obliczenie i podwyższenie wskaźnika dowolnego tensora, macierz musi być nieosobliwa.

Zobacz też[edytuj]