Konwencja sumacyjna Einsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.

Zasady konwencji[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli mamy sumowanie po jakimś indeksie, indeks przebiega wszystkie swoje dozwolone wartości i występuje w sumowaniu dwa razy: raz jako wskaźnik górny a raz dolny, to znak sumowania pomijamy.

Indeks (wskaźnik) sumacyjny nazywamy w takim wypadku wskaźnikiem niemym[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W poniższych przykładach wszystkie wskaźniki mogą przyjmować wartości 0-3.

  • \sum_{j=0}^{3} g_{ij}A^{j} = g_{ij}A^{j} – indeksem sumacyjnym (niemym) jest j
  • \sum_{\nu=0}^{3} \sum_{\lambda=0}^{3} \sum_{\delta=0}^{3} \Gamma ^{\mu\ \lambda} _{\ \nu\ \delta} b^{\nu} c_{\lambda} d^{\delta} = \Gamma ^{\mu\ \lambda} _{\ \nu\ \delta} b^{\nu} c_{\lambda} d^{\delta} – indeksy nieme to \nu, \lambda i \delta; normalnym wskaźnikiem jest \mu

Uzasadnienie[edytuj | edytuj kod]

Sytuacja, kiedy mamy dodawanie w takiej postaci, jak w konwencji sumacyjnej, jest bardzo częsta w algebrze liniowej. Można powiedzieć, że operacja pomnożenia odpowiednich składowych jakichś dwóch obiektów i wysumowania ich po tej składowej jest bardzo podstawowym działaniem i może być traktowana na równi z mnożeniem. Rozsądne byłoby zatem skrócenie zapisu tak podstawowej operacji. Działanie takie (mnożenie składowych i sumowanie po tej składowej) nazywa się czasem kontrakcją (skracaniem). Kontrakcji można się doszukać w wielu innych działaniach:

  • Mnożenie macierzy
 \bold{A \cdot B} = \sum_{j} A^{i}_{j} B^{j}_{k} = A^{i}_{j} B^{j}_{k}
  • Iloczyn skalarny wektorów
 \bold{a \cdot b}  = \sum_{i} \sum_{j} \delta_{ij} a^{i} b^{j} = \delta_{ij} a^{i} b^{j}
  • Mnożenie wektora przez macierz
 \bold{A \cdot b} = \sum_{j} A^{i}_{j} b^{j} = A^{i}_{j} b^{j}
 \operatorname{div} \bold{a} = \sum_{i} \partial_{i} a^{i} = \partial_{i} a^{i}

Praktyka pokazuje, że można się bardzo szybko przyzwyczaić do konwencji sumacyjnej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Zbigniew Mazurkiewicz: Cienkie powłoki sprężyste. Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2004, s. 15. ISBN 83-7207-516-6.