Izomorfizm muzyczny

Ten artykuł od 2024-06 wymaga zweryfikowania podanych informacji: Brak bibliografii i przypisów. Z treści artykułu nie wynika dlaczego jest to izomorfizm niezależny od wyboru bazy. Wręcz można odnieść wrażenie, że zależy od wyboru bazy.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Izomorfizm muzyczny – izomorfizm między wiązką styczną $TM$ a wiązką kostyczną $T^{*}M$ rozmaitości riemannowskiej $M$ określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Dyskusja

Zobacz też: konwencja sumacyjna Einsteina.

Niech $(M,g)$ oznacza rozmaitość riemannowską, zaś $\{\partial _{i}\}$ oznacza lokalny układ współrzędnych dla wiązki stycznej $\operatorname {T} M$ z dualnym do niego koukładem $\{\operatorname {d} x^{i}\}.$ Wówczas można wyrazić lokalnie metrykę riemannowską (która jest 2-kowariantnym polem tensorowym symetrycznym i dodatnio określone) jako $g=g_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}.$ Dla danego pola wektorowego $X=X^{i}\partial _{i}$ można zdefiniować jego bemol jako

X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\operatorname {d} x^{j}=:X_{j}\operatorname {d} x^{j}.

Operację tę nazywa się „opuszczaniem wskaźnika”. Korzystając z tradycyjnej notacji nawiasów kątowych dla iloczynu skalarnego wyznaczonego przez $g$ otrzymuje się nieco bardziej przejrzysty związek

X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\rangle

dla wszystkich wektorów $X$ oraz $Y.$

Alternatywnie, dla danego pola kowektorowego $\omega =\omega _{i}\operatorname {d} x^{i}$ można określić jego krzyżyk jako

\omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\partial _{j},

gdzie $g^{ij}$ są elementami macierzy odwrotnej do $g_{ij}.$ Branie krzyżyka pola kowektorowego nazywa się „podnoszeniem wskaźnika”.

Konstrukcja ta daje dwa wzajemnie odwrotne izomorfizmy $\flat \colon \operatorname {T} M\to \operatorname {T} ^{*}M$ oraz $\sharp \colon \operatorname {T} ^{*}M\to \operatorname {T} M.$ Są to izomorfizmy wiązek wektorowych, które dla każdego $p\in M$ dają odwrotne izomorfizmy przestrzeni liniowych między $\operatorname {T} _{p}M$ oraz $\operatorname {T} _{p}^{*}M.$

Izomorfizmy muzyczne mogą być także rozszerzone na wiązki $\bigotimes ^{k}\operatorname {T} M$ oraz $\bigotimes ^{k}\operatorname {T} ^{*}M.$ Należy przy tym zaznaczyć, który ze wskaźników ma być podniesiony lub opuszczony. Przykładowo niech dane będzie pole $(2,0)$ -tensorowe $X=X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}.$ Podnosząc drugi wskaźnik uzyskuje się pole $(1,1)$ -tensorowe $X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \partial _{k}.$

Ślad tensora poprzez metrykę

Niech dla danego pola $(2,0)$ -tensorowego $X=X_{ij}\operatorname {d} x^{i}\otimes \operatorname {d} x^{j}$ będzie określony ślad $X$ poprzez metrykę $g$ jako

\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.

Należy zauważyć, że definicja śladu jest niezależna od wyboru podnoszonego wskaźnika, gdyż tensor metryczny jest symetryczny.

Zobacz też