Prawo Biota-Savarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Biota-Savartaprawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.

W elektromagnetyzmie[edytuj]

Wyprowadzenie[edytuj]

Prawo Biota-Savarta dla pola magnetycznego można wyprowadzić z równań Maxwella lub z prawa Gaussa dla elektryczności i równań transformacji relatywistycznej pól elektrycznych i magnetycznych w szczególnej teorii względności[1]:

Połączenie powyższych wzorów określa pole magnetyczne wytwarzane przez poruszający się ładunek punktowy, co odpowiada polu wytwarzanemu przez prąd płynący w nieskończenie cienkim i krótkim przewodniku:

gdzie: q – punktowy ładunek elektryczny, v – prędkość ładunku q.

Przyczynek do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości przewodnika z prądem o natężeniu .

Sposób wyznaczania kierunku i zwrotu indukcji magnetycznej

gdzie

(zob. Przenikalność magnetyczna)
– natężenie prądu, wyrażone w amperach,
– skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długości elementu przewodnika,
wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola,
– odległość elementu przewodnika od punktu pola.

Inna postać wzoru:

gdzie to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru

Przewodnik prostoliniowy[edytuj]

Niech przez prostoliniowy przewodnik o nieskończonej długości płynie prąd o natężeniu I. Zapiszmy skalarną postać przyczynku do pola indukcji magnetycznej:

.

Ze wzoru tego można wyprowadzić prawo Grassmanna.

Nieskończony przewód można myślowo podzielić na dwa fragmenty. Górna „połowa” od wycinka dl przewodu do nieskończoności oraz dolna „połowa” w zakresie od minus nieskończoności do 0. Bez dowodu przyjmujemy, że obie „połowy” są sobie równe. Aby otrzymać wartość indukcji magnetycznej B w odległości r od przewodnika o natężeniu I całkujemy skalarny przyczynek do indukcji magnetycznej.

, , nie są niezależne, w związku z czym do obliczenia powyższej całki należy poszukać zależności, które je łączą. Studiując ilustrację zawartą w artykule, można wprowadzając zmienną R będącą najkrótszą odległością do przewodu wypisać następujące związki:

Podstawiając powyższe zależności do całki otrzymujemy ostateczną postać wzoru na indukcję magnetyczną:

Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika.

Przewodnik kołowy[edytuj]

W przypadku przewodnika o innej geometrii indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu R w próżni indukcję określa wzór:

Rozciągły obszar z prądem[edytuj]

Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:

gdzie:

gęstość prądu,
– element objętości.

Poruszający się ładunek[edytuj]

gdzie:

dqładunek elektryczny,
– prędkość ładunku.

Pole w danym punkcie[edytuj]

Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się, całkując różniczkowe elementy indukcji wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.

Wnioski[edytuj]

Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).

Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego linie pola magnetycznego mają kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik.

W mechanice płynów[edytuj]

Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:

  • przewodnik elektryczny – struga wirowa
  • natężenie prądu – cyrkulacja strugi
  • wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu

Prawo można sformułować w postaci:

Prędkość indukowana dv w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości dl określa wzór:

gdzie:

cyrkulacja strugi.

Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:


Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Pole magnetyczne. [dostęp 2016-06-10].