Przestrzeń Stone’a

Przestrzeń Stone’a – przestrzeń topologiczna w rodzinie filtrów pierwszych danej kraty rozdzielnej (lub, co na jedno wychodzi, rodzinie ultrafiltrów w przypadku, gdy krata ta jest reduktem algebry Boole’a), która „koduje” informacje o wspomnianej kracie (algebrze Boole’a). W przypadku algebr Boole’a odpowiadające im przestrzenie Stone’a są zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa i często właśnie z tego względu przestrzenie topologiczne o tych trzech własnościach nazywane są również przestrzeniami Stone’a. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między kratami rozdzielnymi/algebrami Boole’a a przestrzeniami Stone’a (zob. twierdzenie Birkhoffa-Stone’a/twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a), która jest szczególnym przypadkiem tzw. dualizmu Stone’a.

Definicja

Niech $K$ będzie kratą rozdzielną i niech ${\mathcal {S}}_{K}$ będzie rodziną wszystkich filtrów pierwszych w $K.$ Odwzorowanie ${\boldsymbol {\Phi }}\colon K\to {\mathcal {P}}{\big (}{\mathcal {S}}_{K}{\big )}$ dane wzorem

${\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{K}:\;a\in F\,\},\,a\in K.$

nazywa się odwzorowaniem Stone’a.

Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych mówi, że odwzorowanie to jest monomorfizmem kraty $K$ w kratę mnogościową na zbiorze ${\mathcal {P}}{\big (}{\mathcal {S}}_{K}{\big )}.$

Rodzina ${\boldsymbol {\Phi }}(K)$ jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na ${\mathcal {S}}_{K}.$ Właśnie tę przestrzeń nazywa się przestrzenią Stone’a. Odwzorowanie Stone’a przyjmuje jako wartości zbiory otwarte tej przestrzeni.

Uwagi

Istnieje szereg twierdzeń reprezentacyjnych dla różnych pokrewnych struktur, których idea nawiązuje do konstrukcji przestrzeni Stone’a w przypadku algebr Heytinga jest to twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga. Odpowiednikiem przestrzeni Stone’a dla monadycznych algebr Boole’a jest tzw. m-przestrzeń.