Algebra Heytinga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Algebra Heytinga – pewien typ struktury algebraicznej, rodzaj algebry ogólnej, uogólnienie pojęcia algebry Boole’a polegające na odrzuceniu z systemu aksjomatów prawa wyłączonego środka odrzuceniu prawa podwójnej negacji oraz na odrzuceniu pierwszego prawa de Morgana Ten typ algebr wprowadził Arend Heyting (1930) w celu zbudowania formalnego narzędzia dla logiki intuicjonistycznej, którą stworzyła holenderska szkoła logików inspirowana przez L.E.J. Brouwera. Jednakże sam Brouwer był przeciwny wszelkiej formalizacji jego idei intuicjonizmu, w szczególności używania takich narzędzi, jakie proponował jego uczeń Heyting. Zakwestionowanie prawa wyłączonego środka i prawa podwójnej negacji wynikało z ogólnych założeń filozoficznych Brouwera dotyczących tego, czym jest matematyka i jakiego typu rozumowania są w niej dopuszczalne[a].

Obecnie większość badań dotyczących algebr Heytinga nie jest związana z logiką i intuicjonizmem. Traktuje się je jako pewien typ struktur matematycznych, część algebry lub dział teorii kategorii. Rozmaite, równoważne podejścia do teorii algebr Heytinga mogą być sformułowane w ramach teorii częściowego porządku, algebry ogólnej (zwanej też algebrą uniwersalną), topologii ogólnej oraz w języku funktorów sprzężonych w pewnych specjalnych kategoriach. W teoriach tych rozumowania dotyczące algebr Heytinga są oparte na logice klasycznej (z prawem wyłączonego środka, nieintuicjonistycznej).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Algebra Heytinga (zwana też algebrą pseudoboolowską[b][1]) zdefiniowana w języku częściowego porządku to krata dystrybutywna[c] mająca element najmniejszy 0, element największy 1, w której jest dodatkowo dane działanie dwuargumentowe implikacji → spełniające następujący warunek[2]:

(H)     nierówność jest równoważna nierówności     

Tutaj symbol typu nie oznacza zdania (które mogłoby być prawdziwe lub fałszywe), lecz pewien element zbioru L, podobnie jak elementy i Symbol → oznacza więc pewną funkcję z L×L w L. Przy interpretowaniu napisów takich jak symbol można traktować jako koniunkcję, a symbol jako potocznie rozumiane: s pociąga r  (przez analogię z relacją zawierania: SR).

Negację (zwaną też pseudodopełnieniem) określa się wzorem:

Można też zdefiniować algebrę Heytinga jako kratę L z elementami 0 i 1, spełniającą warunek: dla dowolnych p, rL istnieje element największy w zbiorze tych q, dla których ten największy element q jest zwany relatywnym pseudopełnieniem elementu p względem r  i jest oznaczany symbolem [d].

W języku algebr ogólnych algebra Heytinga jest strukturą z trzema działaniami dwuargumentowymi z w w której jest kratą dystrybutywną z elementami z uporządkowaniem zdefiniowanym w terminach pierwotnych przez warunek a działanie spełnia warunek (H). Ponadto dla dowolnych elementów nierówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

Algebry Heytinga tworzą klasę algebr definiowalnych równościowo – ich system aksjomatów, w tym warunek (H), da się zapisać w postaci skończonej liczby aksjomatów mających postać równości[3].

Własności algebr Heytinga[edytuj | edytuj kod]

W każdej algebrze Heytinga dla dowolnych p, q, rL oprócz warunku (H) spełnione są następujące warunki[1][4]:

Działanie dwuargumentowe → spełnia następujące warunki:

W algebrach Heytinga prawdziwe jest tylko drugie prawo de Morgana w postaci równości pierwsze zaś prawo ma znacznie słabszą postać:

Algebra Heytinga L jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w niej prawo podwójnej negacji a także wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo wyłączonego środka

Każda algebra Boole’a (w szczególności każde ciało zbiorów) jest algebrą Heytinga z działaniem  p→q  zdefiniowanym jako Jednakże równość nie jest na ogół spełniona w algebrach Heytinga, bowiem zawsze a może nie być równe 1.

Jeżeli L jest kratą z największym elementem 1 i z uporządkowaniem całkowitym (zwanym również liniowym, tzn. L jest zarazem łańcuchem, w którym każde dwa elementy p, q są porównywalne), to L staje się algebrą Heytinga, gdy p→q określimy jako równe 1 w przypadku p≤q  i jako q w przypadku przeciwnym p>q[4].

Algebra Heytinga zbiorów otwartych przestrzeni topologicznej[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Topologiczna algebra Heytinga.

Tak jak typowym przykładem algebry Boole’a jest ciało podzbiorów dowolnego ustalonego zbioru X wraz z częściowym porządkiem wyznaczonym przez relację inkluzji ⊆ i z działaniami na zbiorach jako operacjami algebraicznymi, tak typowym przykładem algebry Heytinga jest krata wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej X (oznaczanej w tej algebrze symbolem ) ze zwykłymi działaniami oraz z działaniami zdefiniowanymi jako[2]

oraz dla

gdzie oznacza wnętrze zbioru a oznacza domknięcie zbioru E. To, że w takiej algebrze Heytinga może być różne od pokazuje następujący przykład. Niech oznacza płaszczyznę kartezjańską i niech oznacza koło otwarte bez środka. Wówczas dopełnieniem zbioru jest zbiór z dołączonym punktem izolowanym zatem skąd wynika, że

Każdy element algebry Heytinga spełnia warunek równość zaś zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest dziedziną otwartą (zbiór nazywa się dziedziną otwartą, gdy spełnia warunek [5]).

Algebra Heytinga jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy topologia jest dyskretna, tzn. jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X.

Reprezentacja algebr Heytinga w topologicznych algebrach Boole’a[edytuj | edytuj kod]

Topologiczna algebra Boole’a to algebra Boole’a wraz z dodatkową strukturą operatora wnętrza określoną aksjomatycznie przez następujące warunki[1]:

dla . Jest to uogólnienie operacji wnętrza w przestrzeni topologicznej[6][5]. Element nazywa się otwartym, jeżeli jego dopełnienie nazywa się domknięte, a operator domknięcia zdefiniowany jako spełnia warunki analogiczne do aksjomatów Kuratowskiego[6] przestrzeni topologicznej:

W topologicznych algebrach Boole’a prawdziwe są te wszystkie zdania o przestrzeniach topologicznych, które dadzą się wywieść z aksjomatów wnętrza bądź z aksjomatów domknięcia Kuratowskiego bez używania pojęcia elementu Topologiczne algebry Boole’a można zaliczyć do szerszej dziedziny topologii bezpunktowej, do której należą różnorakie obiekty matematyczne, rozpatrywane w nieprzekładalnych wzajemnie bezpośrednio ujęciach różnych teorii[7][8].

Krata wszystkich elementów otwartych w topologicznej algebrze Boole’a jest algebrą Heytinga. Odwrotnie, prawdziwe jest następujące twierdzenie o reprezentacji McKinseya i Tarskiego: dla każdej algebry Heytinga L istnieje topologiczna algebra Boole’a taka, że L jest izomorficzna z algebrą [9][1].

Algebry Heytinga w teorii kategorii[edytuj | edytuj kod]

Każda krata L jest zbiorem częściowo uporządkowanym, może więc być traktowana jako kategoria. W tym ujęciu krata L jest algebrą Heytinga, jeśli istnieje w niej obiekt początkowy 0, obiekt końcowy 1 i jest na niej określona struktura kategorii kartezjańsko zamkniętej, tzn. dla każdego a ∈ L funktor z L w L o przyporządkowaniu obiektowym jest lewym sprzężonym funktora o przyporządkowaniu obiektowym Warunek (H), tzn. równoważność nierówności i tłumaczy się bezpośrednio na warunek sprzężoności tych funktorów. Wymienione wyżej tożsamości i nierówności dla algebr Heytinga mogą być wyprowadzone z ogólnych własności funktorów sprzężonych[2][10].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Wyjaśnienie głównych idei intuicjonizmu (będącego częścią szerszego nurtu zwanego konstruktywizmem) daje R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, wyd. II, PWN, Warszawa 2001, s. 97–112. Krótszy, poglądowy i krytyczny opis znajduje się w książce: P. J. Davis, R. Hersh, Świat matematyki, PWN, Warszawa 1994, s. 283, 292-293 i 321-326.
  2. W cytowanej książce Rasiowej i Sikorskiego rozważane są pojęcia pseudocomplement oraz Pseudo-Boolean algebra; to ostatnie jest równoważne algebrze Heytinga, w szczególności pojawia się tam warunek (H) na s. 58, istnienie elementów 0 i 1 oraz dystrybutywność.
  3. Krata L nazywa się dystrybutywną (rozdzielną), gdy dla dowolnych jej elementów x,y,z spełnione są następujące równości:
  4. Tę definicję implikacji można następująco interpretować w języku logiki: p→r  jest najsłabszym zdaniem, dla którego spełniony jest modus ponens: p → r, pr  (por. Heyting algebra).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d H. Rasiowa, R. Sikorski, The Mathematics of Metamathematics, Monografie Matematyczne, PWN, Warszawa 1963, s. 54–62, 93–95, 123–130.
  2. a b c Z. Semadeni, A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów, wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 183–184.
  3. Algebry definiowalne równościowo omawiane są w książkach: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 274–289, oraz Z. Semadeni, A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów, wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 227–230.
  4. a b http://boole.stanford.edu/cs353/handouts/book3.pdf.
  5. a b R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1975, s. 26–27, 34-37.
  6. a b K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, wyd. VII, PWN, Warszawa 1977, rozdz. X, § 5, s. 110, 115.
  7. Więcej na ten temat znajduje się w Geometria nieprzemienna oraz Pointless topology.
  8. Kategoryjne ujęcie zagadnienia znajduje się w książce: J. Picado, A. Pultr, Frames and Locales. Topology without points, Springer, Basel, 2012.
  9. J. C. C. McKinsey i A. Tarski, On closed elements in closure algebras, Annals of Mathematics 47 (1946), s. 122–162.
  10. Więcej na ten temat znajduje sie w en: Heyting algebra#Alternative definitions oraz w https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+algebra.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]