Algebra Heytinga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Algebra Heytinga – pewien typ struktury algebraicznej, rodzaj algebry ogólnej, uogólnienie pojęcia algebry Boole’a polegające na odrzuceniu z systemu aksjomatów prawa wyłączonego środka odrzuceniu prawa podwójnej negacji oraz na odrzuceniu pierwszego prawa de Morgana Ten typ algebr wprowadził Arend Heyting (1930) w celu zbudowania formalnego narzędzia dla logiki intuicjonistycznej, którą stworzyła holenderska szkoła logików inspirowana przez L.E.J. Brouwera. Jednakże sam Brouwer był przeciwny wszelkiej formalizacji jego idei intuicjonizmu, w szczególności używania takich narzędzi, jakie proponował jego uczeń Heyting. Zakwestionowanie prawa wyłączonego środka i prawa podwójnej negacji wynikało z ogólnych założeń filozoficznych Brouwera dotyczących tego, czym jest matematyka i jakiego typu rozumowania są w niej dopuszczalne[a].

Obecnie większość badań dotyczących algebr Heytinga nie jest związana z logiką i intuicjonizmem. Traktuje się je jako pewien typ struktur matematycznych, część algebry lub dział teorii kategorii. Rozmaite, równoważne podejścia do teorii algebr Heytinga mogą być sformułowane w ramach teorii częściowego porządku, algebry ogólnej (zwanej też algebrą uniwersalną), topologii ogólnej oraz w języku funktorów sprzężonych w pewnych specjalnych kategoriach. W teoriach tych rozumowania dotyczące algebr Heytinga są oparte na logice klasycznej (z prawem wyłączonego środka, nieintuicjonistycznej).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Algebra Heytinga (zwana też algebrą pseudoboolowską[b][1]) zdefiniowana w języku częściowego porządku to krata dystrybutywna[c]

mająca element najmniejszy 0, element największy 1, w której jest dodatkowo dane działanie dwuargumentowe implikacji spełniające następujący warunek[2]:

(H)     nierówność jest równoważna nierówności     

Tutaj symbol typu nie oznacza zdania (które mogłoby być prawdziwe lub fałszywe), lecz pewien element zbioru podobnie jak elementy i Symbol oznacza więc pewną funkcję z w Przy interpretowaniu napisów takich jak symbol można traktować jako koniunkcję, a symbol jako potocznie rozumiane: pociąga (przez analogię z relacją zawierania: ).

Negację (zwaną też pseudodopełnieniem) określa się wzorem:

Można też zdefiniować algebrę Heytinga jako kratę z elementami 0 i 1, spełniającą warunek: dla dowolnych istnieje element największy w zbiorze tych dla których ten największy element jest zwany relatywnym pseudopełnieniem elementu względem i jest oznaczany symbolem [d].

W języku algebr ogólnych algebra Heytinga jest strukturą z trzema działaniami dwuargumentowymi z w w której jest kratą dystrybutywną z elementami z uporządkowaniem zdefiniowanym w terminach pierwotnych przez warunek a działanie spełnia warunek (H). Ponadto dla dowolnych elementów nierówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

Algebry Heytinga tworzą klasę algebr definiowalnych równościowo – ich system aksjomatów, w tym warunek (H), da się zapisać w postaci skończonej liczby aksjomatów mających postać równości[3].

Własności algebr Heytinga[edytuj | edytuj kod]

W każdej algebrze Heytinga dla dowolnych oprócz warunku (H) spełnione są następujące warunki[1][4]:

Działanie dwuargumentowe spełnia następujące warunki:

W algebrach Heytinga prawdziwe jest tylko drugie prawo de Morgana w postaci równości pierwsze zaś prawo ma znacznie słabszą postać:

Algebra Heytinga jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w niej prawo podwójnej negacji a także wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo wyłączonego środka

Każda algebra Boole’a (w szczególności każde ciało zbiorów) jest algebrą Heytinga z działaniem zdefiniowanym jako Jednakże równość nie jest na ogół spełniona w algebrach Heytinga, bowiem zawsze a może nie być równe 1.

Jeżeli jest kratą z największym elementem 1 i z uporządkowaniem całkowitym (zwanym również liniowym, tzn. jest zarazem łańcuchem, w którym każde dwa elementy są porównywalne), to staje się algebrą Heytinga, gdy określimy jako równe 1 w przypadku i jako w przypadku przeciwnym [4].

Algebra Heytinga zbiorów otwartych przestrzeni topologicznej[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Topologiczna algebra Heytinga.

Tak jak typowym przykładem algebry Boole’a jest ciało podzbiorów dowolnego ustalonego zbioru wraz z częściowym porządkiem wyznaczonym przez relację inkluzji \subseteq i z działaniami na zbiorach jako operacjami algebraicznymi, tak typowym przykładem algebry Heytinga jest krata wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej (oznaczanej w tej algebrze symbolem ) ze zwykłymi działaniami oraz z działaniami zdefiniowanymi jako[2]

oraz dla

gdzie oznacza wnętrze zbioru a oznacza domknięcie zbioru To, że w takiej algebrze Heytinga może być różne od pokazuje następujący przykład. Niech oznacza płaszczyznę kartezjańską i niech oznacza koło otwarte bez środka. Wówczas dopełnieniem zbioru jest zbiór z dołączonym punktem izolowanym zatem skąd wynika, że

Każdy element algebry Heytinga spełnia warunek równość zaś zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest dziedziną otwartą (zbiór nazywa się dziedziną otwartą, gdy spełnia warunek [5]).

Algebra Heytinga jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy topologia jest dyskretna, tzn. jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru

Reprezentacja algebr Heytinga w topologicznych algebrach Boole’a[edytuj | edytuj kod]

Topologiczna algebra Boole’a to algebra Boole’a wraz z dodatkową strukturą operatora wnętrza określoną aksjomatycznie przez następujące warunki[1]:

dla Jest to uogólnienie operacji wnętrza w przestrzeni topologicznej[6][5]. Element nazywa się otwartym, jeżeli jego dopełnienie nazywa się domknięte, a operator domknięcia zdefiniowany jako spełnia warunki analogiczne do aksjomatów Kuratowskiego[6] przestrzeni topologicznej:

W topologicznych algebrach Boole’a prawdziwe są te wszystkie zdania o przestrzeniach topologicznych, które dadzą się wywieść z aksjomatów wnętrza bądź z aksjomatów domknięcia Kuratowskiego bez używania pojęcia elementu

Topologiczne algebry Boole’a można zaliczyć do szerszej dziedziny topologii bezpunktowej, do której należą różnorakie obiekty matematyczne, rozpatrywane w nieprzekładalnych wzajemnie bezpośrednio ujęciach różnych teorii[7][8].

Krata wszystkich elementów otwartych w topologicznej algebrze Boole’a jest algebrą Heytinga. Odwrotnie, prawdziwe jest następujące twierdzenie o reprezentacji McKinseya i Tarskiego: dla każdej algebry Heytinga istnieje topologiczna algebra Boole’a taka, że jest izomorficzna z algebrą [9][1].

Algebry Heytinga w teorii kategorii[edytuj | edytuj kod]

Każda krata jest zbiorem częściowo uporządkowanym, może więc być traktowana jako kategoria. W tym ujęciu krata jest algebrą Heytinga, jeśli istnieje w niej obiekt początkowy 0, obiekt końcowy 1 i jest na niej określona struktura kategorii kartezjańsko zamkniętej, tzn. dla każdego funktor z w o przyporządkowaniu obiektowym jest lewym sprzężonym funktora o przyporządkowaniu obiektowym Warunek (H), tzn. równoważność nierówności i tłumaczy się bezpośrednio na warunek sprzężoności tych funktorów. Wymienione wyżej tożsamości i nierówności dla algebr Heytinga mogą być wyprowadzone z ogólnych własności funktorów sprzężonych[2][10].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Wyjaśnienie głównych idei intuicjonizmu (będącego częścią szerszego nurtu zwanego konstruktywizmem) daje R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, wyd. II, PWN, Warszawa 2001, s. 97–112. Krótszy, poglądowy i krytyczny opis znajduje się w książce: P.J. Davis, R. Hersh, Świat matematyki, PWN, Warszawa 1994, s. 283, 292–293, 321–326.
  2. W cytowanej książce Rasiowej i Sikorskiego rozważane są pojęcia pseudocomplement oraz Pseudo-Boolean algebra; to ostatnie jest równoważne algebrze Heytinga, w szczególności pojawia się tam warunek (H) na s. 58, istnienie elementów 0 i 1 oraz dystrybutywność.
  3. Krata nazywa się dystrybutywną (rozdzielną), gdy dla dowolnych jej elementów spełnione są następujące równości:
  4. Tę definicję implikacji można następująco interpretować w języku logiki: jest najsłabszym zdaniem, dla którego spełniony jest modus ponens: (por. Heyting algebra).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d H. Rasiowa, R. Sikorski, The Mathematics of Metamathematics, Monografie Matematyczne, PWN, Warszawa 1963, s. 54–62, 93–95, 123–130.
  2. a b c Z. Semadeni, A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów, wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 183–184.
  3. Algebry definiowalne równościowo omawiane są w książkach: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 274–289, oraz Z. Semadeni, A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów, wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 227–230.
  4. a b http://boole.stanford.edu/cs353/handouts/book3.pdf.
  5. a b R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1975, s. 26–27, 34–37.
  6. a b K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, wyd. VII, PWN, Warszawa 1977, rozdz. X, § 5, s. 110, 115.
  7. Więcej na ten temat znajduje się w Geometria nieprzemienna oraz Pointless topology.
  8. Kategoryjne ujęcie zagadnienia znajduje się w książce: J. Picado, A. Pultr, Frames and Locales. Topology without points, Springer, Basel, 2012.
  9. J.C.C. McKinsey, A. Tarski, On closed elements in closure algebras, „Annals of Mathematics” 47 (1946), s. 122–162.
  10. Więcej na ten temat znajduje sie w en: Heyting algebra#Alternative definitions oraz w https://ncatlab.org/nlab/show/Heyting+algebra.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]