Przestrzeń ściśle wypukła
Wygląd
Przestrzeń ściśle wypukła – przestrzeń unormowana o tej własności, że brzeg kuli jednostkowej (tj. sfera jednostkowa) tej przestrzeni nie zawiera odcinka, tj. każda prosta w przestrzeni ma co najwyżej dwa punkty wspólne ze sferą jednostkową.
Definicje równoważne
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następując warunki są równoważne:
- jest ściśle wypukła,
- jeżeli są elementami sfery jednostkowej przestrzeni to
- jeżeli są elementami sfery jednostkowej przestrzeni to dla wszelkich
- jeżeli i są niezerowymi elementami przestrzeni oraz to dla pewnej liczby [1].
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Przestrzeń c0 nie jest ściśle wypukła, gdyż dla jednak i nie są liniowo zależne[2]. Ogólniej, jeżeli przestrzeń zwarta Hausdorffa ma co najmniej 2 punkty, to przestrzeń funkcji ciągłych nie jest ściśle wypukła[2].
- Dla przestrzeń ℓp (bądź ) jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy (W tym przypadku, z nierówności Hannera wynika, że są one jednostajnie wypukłe).
Przenormowania ściśle wypukłe
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli jest przestrzenią ściśle wypukłą, a jest taką przestrzenią Banacha, że istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy to wzór określa normę równoważną w która jest ściśle wypukła. W konsekwencji, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha można wprowadzić normę równoważną, która jest ściśle wypukła, ponieważ istnieje operator różnowartościowy
- Day wykazał, że dla każdego zbioru nieprzeliczlnego przestrzeń wszystkich ograniczonych funkcji rzeczywistych na nie ma równoważnej normy ściśle wypukłej (nie ma takiej normy podprzestrzeń przestrzeni ) złożona z tych funkcji których co najwyżej przeliczalnie wiele współrzędnych jest niezerowych[3] W tej samej pracy, Day wykazał, że w istnieje równoważna norma ściśle wypukła. Amir i Lindenstrauss wykazali, że dla każdej przestrzeni typu WCG istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy dla pewnego zbioru [4]. W konsekwencji w każdej przestrzeni typu WCG można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą.
- Operator dany wzorem jest ograniczony i różnowartościowy, a zatem w przestrzeni można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Bourgain udowodnił, że w przestrzeni ilorazowej nie ma ściśle wypukłej normy równoważnej[5].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 432.
- ↑ a b Megginson 1998 ↓, s. 428.
- ↑ M. M. Day, Strict convexity and smoothness of normed spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 78, 516–528 (1955).
- ↑ D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math. 88 (1968), 35–64.
- ↑ J. Bourgain, ℓ∞ / c0 has no equivalent strictly convex norm, Proc. Amer. Math. Soc. 78 (1980), 225–226.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.