Brzeg (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Zbiór (jasnoniebieski) wraz z jego brzegiem (ciemnoniebieski).

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Zachowanie funkcji na brzegu dziedziny może się znacząco różnić od zachowania w jego wnętrzu (tzn. w dziedzinie z wyłączeniem brzegu); z tego też powodu w analizie pochodne rozpatruje się zwykle wyłącznie na (niepustych) zbiorach bez brzegu, tzw. zbiorach otwartych. Zadanie z postawionymi warunkami ograniczającymi rozwiązania równania różniczkowego na brzegu badanego zbioru nazywa się zagadnieniem brzegowym. Jednym ze znanych wyników rachunku różniczkowego i całkowego wiążącym pole powierzchni brzegu z obejmowaną przez niego objętością jest twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa (a w ogólności – twierdzenie Stokesa). Ważnym twierdzeniem topologicznym dotyczacym pojęcia brzegu jest twierdzenie Baire'a.

Opisane w artykule pojęcie brzegu różni się pojęć brzegów dla rozmaitości topologicznych, czy kompleksów symplicjalnych.

Definicja i własności[edytuj kod]

Punkt B jest punktem brzegowym jasnobłękitnego zbioru, gdyż dowolne jego otoczenie (w szczególności błękitna kula o środku w tym punkcie) zawiera punkty należące do zbioru, jak i spoza niego.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna oraz zawarty w niej zbiór Punktem brzegowym nazywa taki punkt przestrzeni którego dowolne otoczenie zawiera punkty należące zarówno do jak i jego dopełnienia Brzegiem zbioru nazywa się zbiór wszystkich jego punktów brzegowych, który zwykle oznacza się jednym z symboli (od ang. boundary, frontier).

Niech oraz oznaczają odpowiednio domknięcie i wnętrze zbioru . Wówczas brzeg zbioru można zdefiniować za pomocą tożsamości

bądź

Wprost z definicji wynika, że brzeg zbioru jest:

  • równy brzegowi jego dopełnienia,
  • zawarty w domknięciu tego zbioru,
  • zbiorem domkniętym,

Domknięcie jest sumą zbioru i jego brzegu,

więcej: zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg oraz otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem. Brzeg zbioru jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty; mówi się wtedy, że zbiór „nie ma brzegu”. Zbiór o pustym wnętrzu nazywa się zbiorem brzegowym.

Dla dowolnego zbioru zachodzi

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest brzegowy (co ma miejsce np. wtedy, gdy jest otwarty lub domknięty). Ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, to

dla dowolnego zbioru czyli operator brzegu spełnia pewną słabszą postać idempotentności.

Przykłady[edytuj kod]

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach od 1 do 6.

Niech oznacza zbiór liczb rzeczywistych z jej naturalną topologią. Wówczas

Ostatnie dwa przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być nadzbiorem danego zbioru. Pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni: w naturalnej topologii przestrzeni euklidesowej brzegiem koła

jest okrąg

jednak zanurzenie koła jest zbiorem brzegowym w natomiast w topologii zrelatywizowanej do zbiór ten nie ma brzegu.

W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Zobacz też[edytuj kod]