Przybliżenie Padé

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przybliżenia Padégo funkcji tangens
Przybliżenia Padégo funkcji wykładniczej

Przybliżenie Padégo – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.

Jej odkrywcą jest Henri Padé.

Definicja[edytuj]

Dla danej funkcji f i dwóch liczb naturalnych m, n ∈ N0, przybliżeniem Padégo rzędu (m, n) jest funkcja wymierna

R_{m, n}(x)=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m}{1+b_1 x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n}

której pochodne równają się pochodnym f(x) do najwyższego możliwego rzędu

f(0)=R(0)\,
f'(0)=R'(0)\,
f''(0)=R''(0)\,
\vdots\,
f^{(m+n)}(0)=R^{(m+n)}(0).\,

Ściślej i ogólniej funkcja wymierna \rho jest przybliżeniem Padégo rzędu (k, n-k) formalnego szeregu potęgowego g nad ciałem F, jeżeli:[1]

g = \sum_{i \in \mathbb{N}_0} g_i x^i \in F[[x]] (g_i \in F)
\rho = \frac{r}{t}
r, t \in F[x]
x \nmid t
\frac{r}{t} \equiv g \mod x^n (równoważnie r \equiv t g \mod x^n)
\deg r < k
\deg r \leq n-k

Obliczanie[edytuj]

Jeżeli rozwinięcie funkcji f(x) w szereg Taylora ma postać

f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \cdots

to współczynniki w przybliżeniu Padégo spełniają układ równań

a_i = \sum_{j=0}^i b_j \cdot c_{i-j} dla i = 0, 1, ..., m+n

Przy czym przyjmuje się, że

b0 = 1
ai = 0 dla i > m
bi = 0 dla i > n

Przypisy

  1. Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard: Modern computer algebra.

Bibliografia[edytuj]

  1. Padé Approximant (ang.) w encyklopedii MathWorld
  2. A Short Introduction to Padé Approximants, Jerome Soucy Université Laval

Linki zewnętrzne[edytuj]