Przybliżenie Padégo

Przybliżenia Padégo funkcji tangens

Przybliżenia Padégo funkcji wykładniczej

Przybliżenie Padégo – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.

Jej odkrywcą jest Henri Padé.

Definicja

Dla danej funkcji $f$ i dwóch liczb naturalnych $m,n\in N_{0},$ przybliżeniem Padégo rzędu $(m,n)$ jest funkcja wymierna

$R_{m,n}(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots +b_{n}x^{n}}},$

której pochodne równają się pochodnym $f(x)$ do najwyższego możliwego rzędu

$f(0)=R(0)$

$f'(0)=R'(0)$

$f''(0)=R''(0)$

$\vdots$

$f^{(m+n)}(0)=R^{(m+n)}(0).$

Ściślej i ogólniej funkcja wymierna $\rho$ jest przybliżeniem Padégo rzędu $(k,n-k)$ formalnego szeregu potęgowego $g$ nad ciałem $F,$ jeżeli:

$g=\sum _{i\in \mathbb {N} _{0}}g_{i}x^{i}\in F[[x]]$ $(g_{i}\in F)$

$\rho ={\frac {r}{t}}$

$r,t\in F[x]$

$x\nmid t$

${\frac {r}{t}}\equiv g\mod x^{n}$ (równoważnie $r\equiv tg\mod x^{n}$)

$\deg r<k$

$\deg r\leqslant n-k$

Obliczanie

Jeżeli rozwinięcie funkcji $f(x)$ w szereg Taylora ma postać

$f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\dots ,$

to współczynniki w przybliżeniu Padégo spełniają układ równań

$a_{i}=\sum _{j=0}^{i}b_{j}\cdot c_{i-j}\ {}$ dla ${}\ i=0,1,...,m+n.$

Przy czym przyjmuje się, że

$b_{0}=1,$

$a_{i}=0\ {}$ dla ${}\ i>m,$

$b_{i}=0\ {}$ dla ${}\ i>n.$

Przykład

Należy wyliczyć wielomian $R_{2,1}(x)$ przybliżający $e^{x}$ w punkcie 0. Mamy $m=2,$ $n=1,$ $m+n=3.$ Z szeregu Taylora, który dla punktu 0 staje się szeregiem Maclaurina mamy

$c_{0}=1,c_{1}=1,c_{2}={\frac {1}{2}},c_{3}={\frac {1}{6}}$ ogólnie dla $e^{x}$ $c_{n}={\frac {1}{n!}}$

Układamy układ równań:

pierwsza część

$1\cdot b_{0}=a_{0}$

$1\cdot b_{0}+1\cdot b_{1}=a_{1}$

$1/2b_{0}+1b_{1}=a_{2}$

druga część

$1/6b_{0}+1/2b_{1}=0$

oraz

$b_{0}=1$

Wpisujemy do macierzy najpierw pierwsze $m$ niewiadomych, a potem drugie $n,$ otrzymując macierz: ${\begin{bmatrix}-1&0&0&1&0\\0&-1&0&1&1\\0&0&-1&1/2&1\\0&0&0&1/6&1/2\\0&0&0&1&0\end{bmatrix}}$

oraz wektor wyrazów wolnych składający się z samych zer z wyjątkiem ostatniej jedynki. Następnie wyliczamy posługując się na przykład metodą eliminacji Gaussa, otrzymujemy ${\begin{bmatrix}1&2/3&1/6&1&-1/3\end{bmatrix}},$ co daje ${\frac {1+2/3x+1/6x^{2}}{1-1/3x}},$

co jest zgodne z przykładami Wolframu  z dokładnością do mnożnika licznika i mianownika.

Wypełnianie macierzy

Niech N=m+n+2 będzie rozmiarem macierzy A z normalnym indeksem liczonym od 1 do N.

Czyścimy macierz inicjując ją zerami;
        for (int i = 0; i <= m; i++)
        {
                for (int j = 0; j <= i; j++)
                {
                        if (j<=n)
                                A[i+1, m+j+2] = c[i – j];
                }
                A[i+1, i+1] = -1;
        }
        for (int i = 0; i<= n – 1; i++)
                for (int j = 0; j <= n; j++)
                        A[m + i + 2, m + j + 2]  = c[m + n – i – j];
        ; końcowe b0 = 1
        A[m + n + 2, m + 2] = 1;

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Padé Approximant, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• A Short Introduction to Padé Approximants. archimede.mat.ulaval.ca. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-07-06)]., Jerome Soucy Université Laval

Linki zewnętrzne

• Module for Padé Approximation by John H. Mathews (ang.)
• Padé Approximants (ang.) by Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project.