Quasi-pochodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Quasi-pochodna – jedno z uogólnień pochodnej funkcji między przestrzeniami Banacha. Quasi-pochodną można postrzegać jako silniejszą wersję pojęcia pochodnej Gâteaux, lecz z kolei słabsze niż pochodna Frécheta (w sensie opisanym niżej).

Definicja[edytuj]

Niech będzie funkcją ciągłą ze zbioru otwartego z przestrzeni Banacha w inną przestrzeń Banacha Quasi-pochodną funkcji w punkcie nazywa się przekształcenie liniowe o następującej własności:

dla każdej funkcji ciągłej przy czym takiej, że istnieje zachodzi

Jeżeli takie przekształcenie liniowe istnieje, to funkcję nazywa się quasi-różniczkowalną w punkcie

Własności[edytuj]

Założenie ciągłości jest zbędne, gdyż wynika z definicji. Jeżeli jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie to na mocy reguły łańcuchowej jest również quasi-różniczkowalna, a jej quasi-pochodna w punkcie jest równa pochodnej Frécheta w tym punkcie. Implikacja odwrotna zachodzi, o ile tylko jest skończonego wymiaru. Jeżeli jest quasi-różniczkowalna, to jest ona także różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jej pochodna Gâteaux jest równa quasi-pochodnej tej funkcji.

Literatura[edytuj]

  • Dieudonné, J: Foundations of modern analysis. Academic Press, 1969.