Pochodna Gâteaux

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna Gâteaux lub różniczka Gâteaux, czyt. ~ ˈɡa.tɔ ( odsłuchaj) – uogólnienie pojęcia pochodnej kierunkowej znanego z rachunku różniczkowego. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, René Gâteaux. Pochodną tą definiuje się w przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie wypukłych takich jak przestrzenie Banacha. Podobnie jak pochodna Frécheta, pochodna Gâteaux służy często sformalizowaniu pochodnej funkcjonalnej używanej powszechnie w rachunku wariacyjnym i fizyce.

W przeciwieństwie do innych rodzajów pochodnych, różniczka Gâteaux funkcji może być nieliniowa. Często w definicji różniczki Gâteaux wymaga się jednak, by była przekształceniem liniowym ciągłym. Niektórzy autorzy, np. Tikhomirov[1], odróżniają różniczkę Gâteaux (która może być nieliniowa) od pochodnej Gâteaux (o której zakładają, iż jest liniowa). W większości zastosowań ciągłość liniowa wynika z pierwotniejszego, a przy tym naturalnego w danej sytuacji warunku, np. założenie różniczkowalności zespolonej w kontekście nieskończeniewymiarowej holomorficzności, czy różniczkowalności w sposób ciągły w analizie nieliniowej.

Definicja[edytuj]

Niech oraz będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi (np. przestrzeniami Banacha), dany zbiór otwarty oraz funkcja Różniczkę Gâteaux funkcji w punkcie i kierunku definiuje się jako

o ile granica ta istnieje. Jeżeli istnieje ona dla wszystkich to mówi się, że jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie

Granicę w definicji wzięto w sensie topologii Jeżeli i rzeczywistymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi, to w granicy są wartościami rzeczywistymi. Z drugiej strony, jeżeli przestrzenie te są zespolone, to w powyższej granicy przyjmuje się na płaszczyźnie zespolonej, jak ma to miejsce w definicji różniczki zespolonej. W pewnych przypadkach zamiast mocnej granicy bierze się w zamian słabą granicę, co prowadzi do pojęcia słabej pochodnej Gâteaux.

Liniowość i ciągłość[edytuj]

W każdym punkcie różniczka Gâteaux definiuje funkcję

Jest ona jednorodna w tym sensie, iż dla wszystkich skalarów zachodzi równość

Funkcja ta nie musi być jednak addytywna, tak więc w przeciwieństwie do różniczki Frécheta różniczka Gâteaux może nie być liniowa. Nawet jeżeli będzie ona liniowa, to może nie zależeć w sposób ciągły od co może mieć miejsce, gdy oraz są nieskończeniewymiarowe. Co więcej, istnieje kilka nierównoważnych sposobów określenia różniczkowalności w sposób ciągły tych różniczek Gâteaux, które liniowe i ciągłe w

Niech dana będzie na przykład funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych określona wzorem

Jest ona różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie , przy czym jej różniczką w tym punkcie jest

Wprawdzie jest ona ciągła, ale nie jest liniowa ze względu na argumenty W przypadku nieskończeniewymiarowym dowolny funkcjonał liniowy nieciągły jest różniczkowalny w sensie Gâteaux; choć jego różniczka Gâteaux w jest liniowa, to jednak nie jest ciągła.

Związek z pochodną Frécheta

Jeżeli jest różniczkowalna w sensie Frécheta, to jest różniczkowalna także w sensie Gâteaux, przy czym pochodne te są równe. Sytuacja odwrotna w ogólności nie zachodzi, ponieważ pochodna Gâteaux może nie być liniowa lub ciągła. W rzeczywistości jest nawet możliwe, by pochodna Gâteaux była tak liniowa jak i ciągła, ale pochodna Frécheta nie istniała.

Jednakże dla funkcji z zespolonej przestrzeni Banacha w inną zespoloną przestrzeń Banacha pochodna Gâteaux (gdzie granica brana jest przy zespolonym parametrze zbiegającym do zera jak to jest w definicji różniczkowalności zespolonej) jest koniecznie liniowa, o czym mówi twierdzenie Zorna[2]. Więcej, jeżeli jest różniczkowalna w (zespolonym) sensie Gâteaux w każdym punkcie gdzie pochodna dana jest wzorem

to jest różniczkowalna w sensie Frécheta na a jej różniczką Frécheta jest [3]. Jest to odpowiednik wyniku elementarnej analizy zespolonej, mianowicie: funkcja jest analityczna, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym na zbiorze otwartym; przy czym jest to podstawowym wynik holomorficzności nieskończeniewymiarowej.

Różniczkowalność w sposób ciągły

Różniczkowalność w sensie Gâteaux w sposób ciągły może być określona na dwa nierównoważne sposoby. Niech będzie różniczkowalna w sensie Gâteaux w każdym punkcie zbioru otwartego Jedno z podejść do różniczkowalności w sposób ciągły na wymaga, aby odwzorowanie z przestrzeni produktowej

było ciągłe. Założenie liniowości jest zbędne: jeżeli oraz przestrzeniami Frécheta, to jest automatycznie ograniczone i liniowe dla wszystkich [4].

W mocniejszym z pojęć różniczkowalności w sposób ciągły wymaga się, aby

było odwzorowaniem ciągłym

z w przestrzeń ciągłych funkcji liniowych z w Należy zauważyć, że czyni to zadość liniowości

Ze względu na to, że drugie pojęcie jest dogodniejsze technicznie, to właśnie je zwykle (lecz nie zawsze) stosuje się w przypadku, gdy przestrzenie i są Banacha, ponieważ wtedy również jest Banacha, co umożliwia posiłkowanie się metodami analizy funkcjonalnej. Pierwszą z definicji spotyka się częściej w tych obszarach analizy nieliniowej, w których rozpatrywane przestrzenie funkcyjne niekoniecznie są Banacha. Na przykład różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta ma zastosowania takie jak twierdzenie Nasha-Mosera o funkcji odwrotnej, w którym rozważane przestrzenie funkcyjne często składają się z funkcji gładkich określonych na rozmaitości.

Pochodne wyższych rzędów[edytuj]

Pochodne Frécheta wyższych rzędów definiuje się w sposób naturalny jako funkcje wieloliniowe ze względu na iterację przy pomocy izomorfizmów Pochodnych Gâteaux wyższych rzędów nie można jednak definiować w ten sposób, w zamian pochodną Gâteaux -tego rzędu funkcji w kierunku definiuje się jako

Choć funkcja ta nie jest ona wieloliniowa, to jest ona jednorodna stopnia w punkcie

Innym kandydatem na definicję pochodnej wyższego rzędu jest funkcja

która pojawia się w naturalny sposób w rachunku wariacyjnym jako druga wariacja funkcji , przynajmniej w przypadku szczególnym, gdy ma wartości skalarne. Może ona jednak nie mieć żadnych rozsądnych własności poza jednorodnością oddzielnie ze względu na każdy z parametrów oraz . Dogodne są wtedy dodatkowe warunki dostateczne zapewniające o tym, że jest symetryczną funkcją dwuliniową zmiennych i oraz że zgadza się ona z polaryzacją

Na przykład spełniony jest następujący warunek dostateczny[4]. Niech będzie klasy w sensie, iż odwzorowanie

jest ciągłe względem topologii produktowej i, co więcej, że druga pochodna określona powyższym wzorem jest również ciągła w tym sensie, iż odwzorowanie

jest ciągłe. Wówczas przekształcenie jest dwuliniowe i symetryczne ze względu na i Tożsamość polaryzacyjna jest spełniona na mocy dwuliniowości:

wiążąc pochodną drugiego rzędu z różniczką Podobne wnioski są prawdziwe dla pochodnych wyższych rzędów.

Własności[edytuj]

Dla funkcji , o której przyjmie się, iż jest dostatecznie różniczkowalna w sposób ciągły, zachodzi pewna wersja podstawowego twierdzenia rachunku całkowego; dokładniej:

Twierdzenie podstawowe

Niech będzie klasy w tym sensie, iż pochodna Gâteaux jest funkcją ciągłą Wówczas dla dowolnych oraz jest

gdzie symbol całki oznacza całkę Gelfanda-Pettisa (słabą całkę).

Z powyższego wynika także wiele znanych, porządnych własności pochodnej – w tym wieloliniowość i przemienność pochodnych wyższego stopnia. Innymi własnościami, również wynikającymi z twierdzenia podstawowego, są:

Reguła łańcuchowa

dla dowolnych oraz

Twierdzenie Taylora z resztą

Niech odcinek między a zawiera się całkowicie w . Wówczas jeżeli jest klasy , to

,

gdzie wyraz reszty dany jest jako

Przykłady[edytuj]

Niech będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem określonych na zbiorze mierzalnym w sensie Lebesgue'a przestrzeni euklidesowej . Funkcjonał

dany wzorem

gdzie jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, przy czym , a przyjmująca wartości rzeczywiste jest określona na , ma pochodną Gâteaux

Rzeczywiście,

Jeżeli w powyższej równości, to pochodna Gâteaux

jest iloczynem wewnętrznym

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. V.M. Tikhomirov. Gâteaux variation. „Encyclopaedia of Mathematics”, 2001. Hazewinkel, Michiel: Kluwer Academic Publishers. 
  2. Max Zorn. Characterization of analytic functions in Banach spaces. „Annals of Mathematics. Second Series”. 46, s. 585–593, 1945. ISSN 0003-486X. MSN 0014190. 
  3. Max Zorn. Derivatives and Frechet differentials. „Bulletin of the American Mathematical Society”. 52 (2). s. 133–137. DOI: 10.1090/S0002-9904-1946-08524-9. MR 0014595. 
  4. a b Hamilton, R. S.. The inverse function theorem of Nash and Moser. „Bull. AMS.”. 7 (1), s. 65–222, 1982. DOI: 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2. MR 656198. 

Bibliografia[edytuj]