Pochodna Frécheta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna Frécheta – uogólnienie pojęcia pochodnej dla funkcji między przestrzeniami unormowanymi (w szczególności między przestrzeniami Banacha) nad tym samym ciałem. Pojęcie pochodnej w sensie Frécheta pozwala formalnie zdefiniować pojęcie pochodnej funkcjonalnej, które jest szeroko wykorzystywana w rachunku wariacyjnym. Intuicyjnie, definicja pochodnej Frécheta oparta jest na idei aproksymacji liniowej, to znaczy przybliżania różniczkowanej funkcji przy pomocy prostszego przekształcenia liniowego. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Maurice'a Frécheta.

W analizie funkcjonalnej spotyka się również inną nazwę tego pojęcia – silna pochodna – będącej antonimem innej nazwy pochodnej Gâteaux, tzw. słabej pochodnej.

Definicja[edytuj]

Niech i będą przestrzeniami unormowanymi, będzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni . Funkcję nazywa się różniczkowalną w sensie Frécheta w punkcie , jeżeli istnieje taki ograniczony operator liniowy

że

W przypadku, gdy funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to operator liniowy spełniający powyższy warunek jest wyznaczony jednoznacznie nazywa się różniczką Frécheta funkcji w punkcie i oznacza Odwzorowanie dane wzorem we wszystkich punktach w których jest różniczkowalna, nazywa się pochodną Frécheta funkcji gdzie oznacza przestrzeń funkcyjną wszystkich ograniczonych operatorów liniowych

Równoważnie, funkcja jest różniczkowalna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ograniczony operator liniowy oraz funkcja , dla których

oraz

Funkcję różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru i której pochodna jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru nazywa się funkcją różniczkowalną w sposób ciągły bądź funkcją klasy Jeśli jest funkcjonałem, to różniczkę będącą funkcjonałem liniowym nazywa się czasem wariacją w punkcie i oznacza symbolem

Otwartość dziedziny a różniczkowalność[edytuj]

Założenie otwartości zbioru w definicji jest konieczne ze względu na wymaganie jednoznaczności definicji różniczki. Istotność tego założenia można zobrazować następująco: zbiór

jest domkniętym podzbiorem przestrzeni . Gdyby funkcja , określona na płaszczyźnie, dana wzorem

była różniczkowalna punkcie , to wówczas

Punkty i należą do zbioru tylko, gdy , co pociąga za sobą, iż pochodna w punkcie jest postaci , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Własności[edytuj]

Funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim ciągła. Implikacja odwrotna na ogół nie zachodzi.

Różniczkowanie jest operacją liniową w następującym sensie: jeśli i są dwoma przekształceniami różniczkowalnymi w zaś i są skalarami (dwiema liczbami rzeczywistymi bądź zespolonymi), to ich kombinacja liniowa jest różniczkowalna w przy czym jest ona równa odpowiedniej kombinacji liniowej pochodnych:

W kontekście tym poprawna jest również reguła łańcuchowa zwana również twierdzeniem o różniczkowaniu złożenia funkcji: jeśli jest różniczkowalna w należącym do zaś jest różniczkowalna w to złożenie jest różniczkowalne w a jego pochodna jest złożeniem pochodnych:

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału w punkcie jest Otóż skoro dla to dla dostatecznie małych jest określony przez znak Gdyby to z liniowości wynika, że dla małych znak może być zarówno dodatni, jak i ujemny, tzn. w sąsiedztwie istnieją zarówno wartości mniejsze, jak i większe od a więc nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie.

Przestrzenie skończeniewymiarowe[edytuj]

Przypadek jednowymiarowy
 Zobacz też: pochodna.

Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji rzeczywistej. Ciągłe przekształcenia liniowe są postaci , gdzie jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka pojawiająca się w definicji jest funkcją postaci

Wyrażenie

jest równoważne definicji różniczkowalności funkcji , tj.

gdzie jest pochodną funkcji w punkcie .

Przypadek wielowymiarowy
 Zobacz też: macierz Jacobiego.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe), więc pochodna Frécheta pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych. W szczególności, może być ona reprezentowana za pomocą macierzy Jacobiego.

Niech będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze przestrzeni Jeśli jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie to jej pochodną jest przekształcenie

,

gdzie

przy czym oznacza macierz Jacobiego funkcji w punkcie

Co więcej, pochodne cząstkowe dane są wzorem

gdzie oznacza bazę kanoniczną zaś Pochodna jest przekształceniem liniowym, więc dla wszystkich wektorów pochodna kierunkowa w kierunku wyraża się wzorem

Związek ten jest ogólniejszej natury – zob. związek z pochodną Gâteaux.

Zachodzi również twierdzenie Schwarza mówiące, że jeśli wszystkie pochodne cząstkowe istnieją i są ciągłe, to jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: funkcja może być różniczkowalna w sensie Frécheta, jednak jej pochodne cząstkowe mogą nie być ciągłe.

Przykład zastosowania[edytuj]

Metody rachunku różniczkowego umożliwiają dość sprawne wyznaczanie przybliżonych wartości skomplikowanych wyrażeń. Niech za przykład posłuży

Mając funkcję daną wzorem

wystarczy zauważyć, iż zgodnie z powyższymi uwagami prawdziwy jest wzór

Podstawiając oraz uzyskuje się

oraz

Co ostatecznie daje

Związek z pochodną Gâteaux[edytuj]

 Zobacz też: pochodna Gâteaux.

Jeśli jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie to jest ona w nim również różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jest po prostu operatorem liniowym . Nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Przykładowo funkcja o wartościach rzeczywistych określona wzorem

jest ciągłą i różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie przy czym jej pochodną jest

Funkcja nie jest operatorem liniowym, zatem funkcja nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta.

Innym przykładem może być funkcja dana wzorem

która jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie a jej pochodna dla wszystkich jest operatorem liniowym. Mimo to nie jest ciągła w co można zaobserwować zbiegając do początku układu wzdłuż krzywej i dlatego nie może być tam różniczkowalna w sensie Frécheta.

Subtelniejszym przykładem jest

która jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w przy czym jej pochodną jest co raz jeszcze oznacza, że jest liniowa. Jednakże nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica

nie istnieje.

Poniższy przykład zachodzi tylko w nieskończenie wielu wymiarach. Niech będzie przestrzenią Banacha, a będzie funkcjonałem liniowym na który jest nieciągły w (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe). Niech

Wówczas jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w a jej pochodna jest równa Mimo to nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica

nie istnieje.

Jeśli jest różniczkowalna w sensie Gâteaux na zbiorze otwartym to jest różniczkowalna w sensie Frécheta, gdy jej pochodna Gâteaux jest liniowa i ograniczona w każdym punkcie oraz jest przekształceniem ciągłym

Pochodne wyższego rzędu[edytuj]

Jeśli jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie podzbioru otwartego zbioru to jej pochodna

jest funkcją o wartościach w przestrzeni , tzn. w przestrzeni wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z do . Funkcja ta również może mieć pochodną, nazywaną pochodną drugiego rzędu z funkcji i oznaczaną przez która, z definicji pochodnej, będzie przekształceniem

Często dokonuje się utożsamienia zbioru wartości funkcji z przestrzenią , tzn. przestrzenią wszystkich ciągłych przekształceń dwuliniowych z w . Dokładniej, element przestrzeni utożsamia się takim elementem należącym do , że dla dowolnych i należących do spełniony jest warunek

Intuicyjnie funkcja liniowa względem i liniowa względem jest tym samym, co funkcja dwuliniowa względem oraz

Jeżeli funkcja

jest różniczkowalna, to jej pochodną nazwya się pochodną trzeciego rzędu funkcji f. Pochodna ta jest oczywiście przekształceniem trójliniowym itd. Pochodną -tego rzędu (o ile istnieje) jest funkcja

przyjmująca wartości w przestrzeni Banacha ciągłych przekształceń n-liniowych określonych w i o wartościach w . Indukcyjnie, funkcja jest razy różniczkowalna na jeśli jest -krotnie różniczkowalna w zbiorze oraz dla każdego z istnieje takie ciągłe przekształcenie (n+1)-liniowe , że istnieje granica

oraz zbieżność ta jest jednostajna względem na ograniczonych podzbiorach . Operator nazywany jest wówczas pochodną (n+1)-rzędu funkcji w punkcie

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]