Rozkład wielomianowy

Rozkład wielomianowy

Parametry	$n>0$ liczba prób (liczba całkowita) $k>0$ liczba rozłącznych kategorii (liczba całkowita) $p_{1},\ldots ,p_{k}$ prawdopodobieństwa poszczególnych kategorii, gdzie $p_{1}+\dots +p_{k}=1$
Nośnik	$\left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}\geq 0\ (i=1,\dots ,k)\right\rbrace$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	$\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}$
Wariancja	$\operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
Entropia	$-\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+$ $+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)$
Funkcja tworząca momenty	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}$
Funkcja charakterystyczna	$\left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}$, gdzie $i^{2}=-1$

Rozkład wielomianowy – rozkład prawdopodobieństwa będący uogólnieniem rozkładu dwumianowego. Opisuje on na przykład prawdopodobieństwo uzyskania danej kombinacji wyników w n rzutach kostką o k ścianach. W przypadku n niezależnych prób, z których każda prowadzi z ustalonym prawdopodobieństwem do sukcesu w dokładnie jednej z k kategorii, rozkład wielomianowy podaje prawdopodobieństwo określonej kombinacji liczby sukcesów dla różnych kategorii.

Gdy k wynosi 2, a n wynosi 1, rozkład wielomianowy jest rozkładem zero-jedynkowym. Gdy k wynosi 2, a n jest większe niż 1, jest to rozkład dwumianowy. Gdy k jest większe niż 2, a n wynosi 1, jest to rozkład wielopunktowy („multinoulli”).

Generalnie kategorie w rozkładzie wielomianowym nie muszą być uporządkowane (mogą być na skali nominalnej), w związku z tym indeksy $1,\dots ,k$ są nadawane arbitralnie. Jeżeli kategorie są uporządkowane, rozkład takiej zmiennej nazywamy rozkładem wielomianowym porządkowym.

Przykład

Załóżmy, że w wyborach prezydenckich w dużym kraju było trzech kandydatów. kandydat A otrzymał 20% głosów, kandydat B otrzymał 30% głosów, a kandydat C otrzymał 50% głosów. Jeżeli losowo wybranych zostanie sześciu wyborców, jakie jest prawdopodobieństwo, że w próbie znajdzie się dokładnie jeden zwolennik kandydata A, dwóch zwolenników kandydata B i trzech zwolenników kandydata C?

Uwaga: Ponieważ zakładamy, że populacja głosująca jest duża, rozsądne i dopuszczalne jest myślenie o prawdopodobieństwach jako niezmiennych po wybraniu wyborcy do próby. Technicznie rzecz biorąc, jest to próbkowanie bez zwracania, więc prawidłowy byłby w tym przypadku wielowymiarowy rozkład hipergeometryczny, ale rozkłady zbiegają się w miarę wzrostu populacji w porównaniu do ustalonej wielkości próby.

$\mathbb {P} (A=1,B=2,C=3)={\frac {6!}{1!2!3!}}(0.2^{1})(0.3^{2})(0.5^{3})=0.135$