Przejdź do zawartości

Rozmaitość liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Rozmaitość liniowazbiór punktów przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową zdefiniowany następująco

dla pewnego punktu i pewnej podprzestrzeni wektorowej [1].

Punkt nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości[1].

Własności:

  • Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy[2].
  • Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie[2].

Wymiar rozmaitości

[edytuj | edytuj kod]

Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.

Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa -wymiarowa[3].

Rozmaitość z przestrzenią kierunkową dla której

  • nazywa się prostą,
  • nazywa się płaszczyzną,
  • nazywa się hiperpłaszczyzną[3].

Przykłady rozmaitości liniowych

[edytuj | edytuj kod]
Proste równoległe

Przykłady rozmaitości liniowych:

Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej[4];
  • rozmaitość zerowymiarowa:
Jeśli to rozmaitość Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa[5]
Niech będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną rozpiętą nad Niech będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej Niech będzie punktem płaszczyzny Wtedy to prosta równoległa do prostej gdzie to początek układu współrzędnych[6] (patrz: rysunek obok).

Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne

[edytuj | edytuj kod]

[7]

Dowód lematu

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to Zatem i istnieje taki wektor dla którego Stąd wynika, że [8].

Twierdzenie

[edytuj | edytuj kod]

Rozmaitość liniowa przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową [9].

Dowód twierdzenia

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to Stąd:

Rozważmy funkcję taką, że:

Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:

[10].

Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.

Rzeczywiście, korzystając z tego, że dostaniemy

co oznacza, że spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej[10].

Z kolei jeśli to na mocy lematu[7] otrzymujemy A stąd

Czyli funkcja spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej[10].

Równoległość rozmaitości

[edytuj | edytuj kod]

Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową[11].

Relacja równoległości jest relacją równoważności.

Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne[12].

W niektórych źródłach[13] dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.

Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję[14]:

Rozmaitość liniowa jest równoległa do rozmaitości liniowej gdy jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej tzn. gdy

Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny[15].

Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia[16].

W niektórych źródłach[17] tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Definicja 12.8.
  2. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Twierdzenie 12.7.
  3. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227.
  4. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Przykład 1).
  5. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Przykład 2).
  6. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Przykład 3).
  7. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.8.
  8. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.8 – Dowód.
  9. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.9.
  10. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód.
  11. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Definicja 12.9.
  12. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.10.
  13. Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S. Fiedienko, Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija, Minsk 1976.
  14. Np. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn).
  15. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.10 (1).
  16. N. Jefimow(inne języki), E. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, wyd. II, Warszawa 1976.
  17. K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, wyd. V, Warszawa 1976.