Całkowanie przez podstawienie to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.
Opis metody
Jeśli:
- Funkcja jest różniczkowalna w
- jest przedziałem
- Funkcja ma funkcję pierwotną w I, tzn.
to funkcja f jest całkowalna w oraz:
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
- ,
to można zmienić podstawę całkowania na :
- .
W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:
Zakładamy, że:
- Funkcja f jest całkowalna w swej dziedzinie.
- Funkcja g określona na przedziale [a; b] jest różniczkowalna w sposób ciągły.
- g'(x)≠0 dla każdego x z przedziału (a; b)
- Obraz funkcji g zawiera się w dziedzinie funkcji f.
Wówczas:
Przykłady
- Obliczając całkę , zastosować można podstawienie , tzn., więc:
- .
- Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
Przydatne podstawienia
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
- W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne . Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus (), stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus (), stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie (), stosuje się podstawienie
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych wyprowadzić można czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
zachodzi:
W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci :
,
Przykłady
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
Podstawienia Eulera
Podstawienia Eulera stosujemy przy obliczaniu całek funkcji postaci , gdzie R jest funkcją wymierną.
I podstawienie Eulera
I podstawienie stosować można, gdy a>0. Przyjmujemy wtedy: . Wobec tego otrzymujemy:
,
.
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy: .
II podstawienie Eulera
II podstawienie stosować można, gdy c>0. Przyjmujemy wówczas:
. Mamy zatem:
,
.
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemy: .
III podstawienie Eulera
III podstawienie stosować można, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu . Przyjmujemy wtedy: . Stąd:
,
.
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamy:
Całkowanie różniczek dwumiennych
Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: , gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi (niezerowymi), zaś m, n, p liczbami wymiernymi. Przyjmijmy ponadto , gdzie q, r są całkowite. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
- gdy p jest liczbą całkowitą ; przypadek nie wymaga podstawień.
- gdy jest liczbą całkowitą; stosujemy wtedy podstawienie .
- gdy jest liczbą całkowitą; stosujemy podstawienie .
Podstawienia trygonometryczne
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
- - podstawiamy lub
- - podstawiamy lub
- - podstawiamy lub
Inne podstawienia
- Całki typu obliczamy przez podstawienie . Stąd: .
- Całki typu , gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając , gdzie k jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb p1, p2, ..., pn.
Zobacz też