Funkcja pierwotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pole kierunków funkcji gdzie zaznaczono trzy z nieskończenie wielu rozwiązań, które można uzyskać poprzez uzmiennienie stałej

Funkcja pierwotna – dla danej funkcji taka funkcja której pochodna jest równa Proces wyznaczania pierwotnej nazywa się również całkowaniem (nieoznaczonym) i można go postrzegać jako działanie odwrotne do wyznaczania pochodnej. Pierwotne, poprzez podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, związane są z całkami oznaczonymi: całka oznaczona funkcji na danym przedziale jest równa różnicy wartości pierwotnej w końcach tego przedziału.

Wzory[edytuj]

Jeżeli jest pierwotną funkcji określonej i ciągłej na pewnym przedziale, to każda inna pierwotna funkcji na tym przedziale różni się od o stałą: istnieje liczba nazywana stałą całkowania, taka, że dla wszystkich Jeżeli dziedzina jest sumą rozłączną dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.

jest najogólniejszą pierwotną funkcji określonej na jej dziedzinie naturalnej

Otóż, pierwotna funkcji

gdzie

Wyrażenie nazywa się całką nieoznaczoną (ogólną pierwotną) funkcji podcałkowej czasami zmienną nazywa się w tym kontekście zmienną całkowania. Obecność stałej całkowania wynika z faktu, iż pochodna stałej jest zawsze równa zeru.

Symbol (stylizowana litera S, od łac. summa), oznaczający operację pierwotnej, został wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza.

Ponieważ branie pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:

  • podstawowa reguła całki nieoznaczonej:
  • całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji (jednorodność):
  • jeżeli oraz określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji i (addytywność):
  • jeśli jest liczbą rzeczywistą, to
 Osobny artykuł: tablica całek.

Własności i zastosowania[edytuj]

Całki nieoznaczone są bardzo często stosowane do obliczania całek oznaczonych. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że jeżeli jest pierwotną funkcji a jest ciągła, to

Każda funkcja ciągła ma pierwotną, a jedna z nich, dana jest za pomocą całki oznaczonej funkcji z uzmiennioną górną granicą całkowania:

Uzmiennienie dolnej granicy daje inne pierwotne (ale niekoniecznie wszystkie z nich). Jest to inne sformułowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.

Istnieje wiele funkcji, choć których pierwotne istnieją, to nie mogą być wyrażone za pomocą funkcji elementarnych (takich jak wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne, funkcje odwrotne do trygonometrycznych i ich złożenia). Przykładami mogą być

Metody całkowania[edytuj]

Całkowanie nie jest sprawą trywialną. Istnieje wprawdzie algorytm Rischa, który pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Wymaga on jednak bardzo wielu obliczeń, jest więc używany tylko w programach komputerowych, wspomagających obliczenia symboliczne.

Stosuje się zatem pewne przekształcenia pozwalające sprowadzić funkcję do prostszej postaci. Niektóre z nich wymienione są poniżej.

Całkowanie przez części[edytuj]

 Osobny artykuł: całkowanie przez części.

Jeśli funkcje i są określone w pewnym przedziale i mają tam ciągłe pochodne, to:

Całkowanie przez podstawienie[edytuj]

 Osobny artykuł: całkowanie przez podstawienie.

Jeśli funkcja rzeczywista jest ciągła w przedziale , a funkcja ma ciągłą pochodną w przedziale i jest różnowartościowym odwzorowaniem na , to:

wtedy i tylko wtedy, gdy

Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając zamiast t. Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając zamiast x.

Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:

jeżeli to

Całkowanie funkcji wymiernych[edytuj]

Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę funkcji wielomianowej i skończonej liczby ułamków, każdy z których jest albo postaci

albo postaci

gdzie

( to liczba naturalna w obu przypadkach).

Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.

Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:

W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie

W drugim składniku stosowany jest wzór rekurencyjny:

gdzie:

Całkowanie niektórych innych funkcji[edytuj]

Każdą całkę funkcji postaci gdzie jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie[1]:

Wówczas

Funkcje postaci

gdzie daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie

skąd

Dla funkcji postaci

gdzie stosuje się tzw. pierwsze podstawienie Eulera

skąd

Natomiast w przypadku

stosowane jest drugie podstawienie Eulera

skąd


Przypisy

  1. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 438

Linki zewnętrzne[edytuj]