Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
→Składanie funkcji samej ze sobą: +inwersja |
m r2.7.3) (Robot dodał simple:Function composition |
||
Linia 70: | Linia 70: | ||
[[pt:Composição de funções]] |
[[pt:Composição de funções]] |
||
[[ru:Композиция функций]] |
[[ru:Композиция функций]] |
||
[[simple:Function composition]] |
|||
[[sl:Kompozitum funkcij]] |
[[sl:Kompozitum funkcij]] |
||
[[fi:Yhdistetty funktio]] |
[[fi:Yhdistetty funktio]] |
Wersja z 22:29, 8 sty 2013
Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.
Definicja
Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że:
- .
Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany . Dla powyższych funkcji
- ,
zatem
- .
Własności
Łączność operatora składania oznacza, że , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis .
Z istnienia złożenia nie wynika istnienie . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z . Mamy wówczas , w takim przypadku na ogół różni się od funkcji .
Przykład
Niech i . Wtedy
- , natomiast
- .
Widać, iż jest inna niż .
Struktura grupy
- Osobny artykuł:
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.
Przykład
- , czyli grupa symetryczna danego zbioru , oznaczana również przez albo , czyli grupa wszystkich bijekcji .
- Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupa, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.
Składanie funkcji samej ze sobą
Jeżeli , to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj . Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.
Dodatkowo funkcję , dla której nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.
Tradycyjnie f 2 jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli dla każdego . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie .