Płaskie zginanie pręta: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Wzory: wyprowadzenie przecinków i kropek kończących zdania poza formułę (znaczniki "<math>...</math>"): regex wyszukaj: (,|\.)(</math>) zastąp: $2$1. Dodanie kontroli autorytatywnej Znacznik: Wycofane |
|||
Linia 18: | Linia 18: | ||
Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą: |
Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą: |
||
:: <math>\epsilon_x = \pm \frac{z}{\rho} |
:: <math>\epsilon_x = \pm \frac{z}{\rho}</math>, |
||
gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia [[Krzywizna krzywej|krzywizny]]. |
gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia [[Krzywizna krzywej|krzywizny]]. |
||
Odkształcenia wywołują naprężenia normalne: |
Odkształcenia wywołują naprężenia normalne: |
||
:: <math>\sigma_x = \pm E \frac{z}{\rho} |
:: <math>\sigma_x = \pm E \frac{z}{\rho}</math>. |
||
Obliczając siłę podłużną w przekroju |
Obliczając siłę podłużną w przekroju |
||
Linia 30: | Linia 30: | ||
oraz moment zginający |
oraz moment zginający |
||
:: <math>M=\int_A z\sigma_x dA = \pm E \int_A \frac{z^2}{\rho} dA |
:: <math>M=\int_A z\sigma_x dA = \pm E \int_A \frac{z^2}{\rho} dA |
||
= \pm \frac{E}{\rho} \int_A z^2 dA = \pm \frac{E}{\rho} J_x |
= \pm \frac{E}{\rho} \int_A z^2 dA = \pm \frac{E}{\rho} J_x</math>, |
||
gdzie <math>J_x</math> jest [[Geometryczne momenty bezwładności|momentem bezwładności]] względem osi <math>x</math> pręta. |
gdzie <math>J_x</math> jest [[Geometryczne momenty bezwładności|momentem bezwładności]] względem osi <math>x</math> pręta. |
||
Jeśli [[Siły wewnętrzne|wielkości przekrojowe]] są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to <math>S_x=0</math> oraz <math>N=0</math> (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie |
Jeśli [[Siły wewnętrzne|wielkości przekrojowe]] są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to <math>S_x=0</math> oraz <math>N=0</math> (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie |
||
:: <math>\frac{EJ_x}{\rho(x)} = \pm M(x) |
:: <math>\frac{EJ_x}{\rho(x)} = \pm M(x)</math>. |
||
Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju |
Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju |
||
:: <math>\sigma_x(z) = \pm \frac{z\cdot M}{J_x} |
:: <math>\sigma_x(z) = \pm \frac{z\cdot M}{J_x}</math>. |
||
Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia: |
Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia: |
||
:: <math>\frac{1}{\rho}\approx \pm w''(x) |
:: <math>\frac{1}{\rho}\approx \pm w''(x)</math>, |
||
otrzymując równanie różniczkowe: |
otrzymując równanie różniczkowe: |
||
:: <math>EJ_x w''(x) = \pm M(x) |
:: <math>EJ_x w''(x) = \pm M(x)</math>, |
||
gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów. |
gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów. |
||
Linia 51: | Linia 51: | ||
Jeśli moment jest zmienny względem x to z [[Twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego|tw. Schwedlera-Żurawskiego]] wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu: |
Jeśli moment jest zmienny względem x to z [[Twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego|tw. Schwedlera-Żurawskiego]] wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu: |
||
:: <math>EJ_x w^{IV} = -q(x) |
:: <math>EJ_x w^{IV} = -q(x)</math>. |
||
Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki. |
Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki. |
||
Maksymalne [[naprężenie]] normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla <math>z_{max}</math> i wynosi: |
Maksymalne [[naprężenie]] normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla <math>z_{max}</math> i wynosi: |
||
:: <math>\sigma_{max} = \frac{M_x}{W_x} |
:: <math>\sigma_{max} = \frac{M_x}{W_x}</math>, |
||
gdzie: |
gdzie: |
||
Linia 64: | Linia 64: | ||
Zgodnie z [[wytężenie|hipoteza wytężeniową]] naprężenie musi spełniać warunek: |
Zgodnie z [[wytężenie|hipoteza wytężeniową]] naprężenie musi spełniać warunek: |
||
:: <math>\sigma_{max} < k_g |
:: <math>\sigma_{max} < k_g</math>, |
||
gdzie: |
gdzie: |
||
Linia 74: | Linia 74: | ||
== Linki zewnętrzne == |
== Linki zewnętrzne == |
||
* [http://pkm.edu.pl/index.php/ksztatowniki/74-07000303 Wskaźniki wytrzymałości dla różnych przekrojów] |
* [http://pkm.edu.pl/index.php/ksztatowniki/74-07000303 Wskaźniki wytrzymałości dla różnych przekrojów] |
||
{{Kontrola autorytatywna}} |
|||
[[Kategoria:Wytrzymałość materiałów]] |
[[Kategoria:Wytrzymałość materiałów]] |
Wersja z 01:30, 21 wrz 2021
Zginanie – w wytrzymałości materiałów stan deformacji, przy którym pręt prosty w stanie niezdeformowanym, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę jego osi).
Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są belki.
Ze względów technicznych, dla materiałów liniowo-sprężystych, rozróżnia się kilka przypadków szczególnych zginania:
- czyste zginanie – naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających),
- proste zginanie – naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych,
- ściskanie/rozciąganie mimośrodowe – naprężenia redukują się do momentu i siły podłużnej, siły poprzeczne mogą, ale nie muszą wystąpić.
Zginanie jest pokrewne rozciąganiu i ściskaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.
Teoria Bernoulliego-Eulera zginania pręta
Założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji.
Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:
- ,
gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia krzywizny.
Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:
- .
Obliczając siłę podłużną w przekroju
oraz moment zginający
- ,
gdzie jest momentem bezwładności względem osi pręta.
Jeśli wielkości przekrojowe są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to oraz (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie
- .
Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju
- .
Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:
- ,
otrzymując równanie różniczkowe:
- ,
gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.
Jeśli to jest to przypadek czystego zginania. Równaniem linii ugięcia jest parabola i jest to rozwiązanie ścisłe, pozbawione sprzeczności.
Jeśli moment jest zmienny względem x to z tw. Schwedlera-Żurawskiego wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu:
- .
Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki.
Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla i wynosi:
- ,
gdzie:
- – maksymalne naprężenie normalne,
- – moment gnący (zginający),
- – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, którego wartość wynosi i zależy od rozmiaru i kształtu przekroju elementu.
Zgodnie z hipoteza wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:
- ,
gdzie:
- – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.
Bibliografia
- Stefan Piechnik: Wytrzymałość materiałów. Dla wydziałów budowlanych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980. ISBN 83-01-00873-3.