Moment siły

Zależności między siłą $F,$ momentem siły $\tau$ $(M),$ pędem $p$ oraz momentem pędu $L$

Moment siły (moment obrotowy) – iloczyn wektorowy promienia wodzącego ${\vec {r}},$ o początku w punkcie O (znajdującym się na wirtualnej osi obrotu) i końcu w punkcie działania siły ${\vec {F}}$:

${\vec {M}}_{o}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

Najczęściej jest oznaczany literą M lub T (z ang. Torque). Wektor momentu siły jest wektorem osiowym (pseudowektorem), zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopadły do kierunku płaszczyzny wyznaczonej przez wektor ${\vec {F}}$ i promień wodzący ${\vec {r}}.$

Określa się także moment siły względem osi, jest on równy rzutowi wektora momentu siły na tę prostą. Współrzędne $M_{x},M_{y},M_{z}$ wektora ${\vec {M}}_{o}$ nazywają się momentami siły względem odpowiednich osi $x,y,z.$

Jednostką momentu siły jest niutonometr [Nm]. Jednostka ta jest zdefiniowana analogicznie jak dżul, czyli jednostka energii. Aby unikać nieporozumień, nie nazywa się niutonometra dżulem.

Warunki statyki dla ruchu obrotowego

Bryła sztywna pozostaje w spoczynku gdy:

• Suma wektorów wszystkich sił zewnętrznych działających na bryłę równa jest 0,
• Suma wektorów wszystkich zewnętrznych momentów sił (liczonych względem dowolnej wspólnej osi) działających na bryłę równa jest 0.

Moment obrotowy dla punktu

Cząstka znajduje się w odległości r od jej osi obrotu. W chwili zadziałania siły F na cząstkę, tylko składowa prostopadła F_⊥ generuje moment obrotowy. Taki wektorowy moment siły τ = r × F uzyskuje wartość τ = |r| |F_⊥| = |r| |F| sin θ i jest skierowany do czytelnika (zgodnie z zasadą prawej dłoni)

W fizyce teoretycznej i edukacji często rozpatrywane są zagadnienia dynamiki punktów, gdzie ich kształt i wielkość mogą być zaniedbane. W teoretycznym przypadku masy obiektu skupionej w punkcie, równania wektorowe zamienia się na równania skalarne w postaci:

$M_{o}=r\times F$

Gdzie: r – ramię działania siły, F – wartość składowej prostopadłej siły.

Moment obrotowy dla bryły i wielu punktów

W przypadku rozpatrywania bryły sztywnej, której masa rozłożona jest na pewnej objętości i może ona przyjmować dowolny kształt lub w wypadku analizy wzajemnie powiązanej chmury punktów o masach skupionych niezbędne jest uwzględnienie właśnie tych wzajemnych właściwości wewnętrznych obiektu.

II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przyjmuje wtedy postać:

${\vec {M}}={\mathbf {I}}\times {\vec {\varepsilon }}$

Gdzie: ${\mathbf {I}}$ – macierz momentu bezwładności w 3 wymiarach względem osi obrotu, ${\vec {\varepsilon }}$ – przyspieszenie kątowe względem osi obrotu.

Wynikiem takiej operacji na macierzach jest macierz momentów siły dla poszczególnych rozpatrywanych wymiarów. Z punktu widzenia mechaniki teoretycznej pożądane jest zwykle, by układy pracowały momentem siły względem osi głównych. Zapewnia to stabilną pracę i optimum energetyczne.

Przykład działania momentu siły

W przypadku dźwigni dwustronnej o nierównych ramionach pozostanie ona w równowadze, gdy wartości momentów sił przyłożone do obu ramion będą równe, a ściślej, gdy suma wektorów momentów będzie równa zeru:

${\vec {r}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}=0.$

W przypadku pokazanym na rysunku, gdy siły $P_{1}$ i $P_{2}$ są prostopadłe do wektorów $r_{1}$ i $r_{2}$

$r_{1}\cdot P_{1}-r_{2}\cdot P_{2}=0.$

Związek z mocą

Znając moc $P$ obracającego się urządzenia i jego prędkość kątową $\omega ,$ można wyznaczyć moment siły, ponieważ

$P={\frac {dW}{dt}}={\frac {Fds}{dt}}={\frac {Frd\alpha }{dt}},$

$P=M\omega ,$

gdzie:

$W$ – praca,

$r$ – ramię przyłożenia siły, mierzone od osi obrotu urządzenia.

W ten sposób można wyznaczyć na przykład moment obrotowy wału.

Zobacz też

• moment bezwładności