Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
WP:SK, drobne techniczne |
m Prośba o źródła, drobne techniczne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{Źródła|data=2012-08 }} |
|||
'''Rozmaitość różniczkowa''' – [[rozmaitość topologiczna]], której [[Parametryzacja (matematyka)|parametryzacje]] otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są [[funkcja (matematyka)|funkcjami]] [[pochodna funkcji|klasy]] co najmniej <math>C^1</math> posiadającą [[przekształcenie liniowe|nieosobliwą]] [[różniczka|różniczkę]] w każdym punkcie [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]]. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja. |
'''Rozmaitość różniczkowa''' – [[rozmaitość topologiczna]], której [[Parametryzacja (matematyka)|parametryzacje]] otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są [[funkcja (matematyka)|funkcjami]] [[pochodna funkcji|klasy]] co najmniej <math>C^1</math> posiadającą [[przekształcenie liniowe|nieosobliwą]] [[różniczka|różniczkę]] w każdym punkcie [[dziedzina (matematyka)|dziedziny]]. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja. |
||
Linia 14: | Linia 15: | ||
== Klasy == |
== Klasy == |
||
W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy <math>C^1</math> funkcji inną. '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^r</math>''' nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^r</math> dla <math>r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}</math>. [[Rozmaitość topologiczna]] jest rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>, z kolei '''rozmaitością analityczną''' nazywa się rozmaitość klasy <math>C^\omega</math>. |
W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy <math>C^1</math> funkcji inną. '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^r</math>''' nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^r</math> dla <math>r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}</math>. [[Rozmaitość topologiczna]] jest rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>, z kolei '''rozmaitością analityczną''' nazywa się rozmaitość klasy <math>C^\omega</math>. |
||
== Zobacz też == |
|||
* [[rozmaitość topologiczna]], |
|||
* [[mapa (matematyka)|mapa]], |
|||
* [[atlas (matematyka)|atlas]]. |
|||
[[Kategoria:Topologia]] |
[[Kategoria:Topologia]] |
Wersja z 14:48, 24 sie 2012
Szablon:Źródła Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacje otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są funkcjami klasy co najmniej posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja.
Definicja
Zbiór jest rozmaitością różniczkową (klasy i wymiaru , ), gdy:
- istnieje w otwarte otoczenie oraz zbiór otwarty i
- homeomorfizm taki, że
- odwzorowanie jest klasy i
- różniczka jest iniekcją dla każdego .
Funkcję nazywamy mapą rozmaitości, zaś jej parametryzacją.
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.
Klasy
W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy funkcji inną. Rozmaitością różniczkową klasy nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy dla . Rozmaitość topologiczna jest rozmaitością różniczkową klasy , z kolei rozmaitością analityczną nazywa się rozmaitość klasy .