Płaskie zginanie pręta

Zginanie pręta

Zginanie – w wytrzymałości materiałów stan deformacji, przy którym pręt prosty w stanie niezdeformowanym, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę jego osi).

Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są belki.

Ze względów technicznych, dla materiałów liniowo-sprężystych, rozróżnia się kilka przypadków szczególnych zginania:

• czyste zginanie – naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających),
• proste zginanie – naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych,
• ściskanie/rozciąganie mimośrodowe – naprężenia redukują się do momentu i siły podłużnej, siły poprzeczne mogą, ale nie muszą wystąpić.

Zginanie jest pokrewne rozciąganiu i ściskaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.

Teoria Bernoulliego-Eulera zginania pręta

Założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji.

Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:

$\epsilon _{x}=\pm {\frac {z}{\rho }},$

gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia krzywizny.

Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:

$\sigma _{x}=\pm E{\frac {z}{\rho }}.$

Obliczając siłę podłużną w przekroju

$N=\int _{A}\sigma _{x}dA=\pm E\int _{A}{\frac {z}{\rho }}dA=\pm {\frac {E}{\rho }}\int _{A}zdA=\pm {\frac {E}{\rho }}S_{x}$

oraz moment zginający

$M=\int _{A}z\sigma _{x}dA=\pm E\int _{A}{\frac {z^{2}}{\rho }}dA=\pm {\frac {E}{\rho }}\int _{A}z^{2}dA=\pm {\frac {E}{\rho }}J_{x},$

gdzie $J_{x}$ jest momentem bezwładności względem osi $x$ pręta.

Jeśli wielkości przekrojowe są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to $S_{x}=0$ oraz $N=0$ (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie

${\frac {EJ_{x}}{\rho (x)}}=\pm M(x).$

Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju

$\sigma _{x}(z)=\pm {\frac {z\cdot M}{J_{x}}}.$

Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:

${\frac {1}{\rho }}\approx \pm w''(x),$

otrzymując równanie różniczkowe:

$EJ_{x}w''(x)=\pm M(x),$

gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.

Jeśli $M(x)=const$ to jest to przypadek czystego zginania. Równaniem linii ugięcia jest parabola i jest to rozwiązanie ścisłe, pozbawione sprzeczności.

Jeśli moment jest zmienny względem x to z tw. Schwedlera-Żurawskiego wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu:

$EJ_{x}w^{IV}=-q(x).$

Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla $z_{max}$ i wynosi:

$\sigma _{max}={\frac {M_{x}}{W_{x}}},$

gdzie:

$\sigma _{max}$ – maksymalne naprężenie normalne,

$M_{x}$ – moment gnący (zginający),

$W_{x}$ – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, którego wartość wynosi $W={\frac {J_{x}}{z_{max}}}$ i zależy od rozmiaru i kształtu przekroju elementu.

Zgodnie z hipoteza wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:

$\sigma _{max}<k_{g},$

gdzie:

$k_{g}$ – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Bibliografia

• Stefan Piechnik: Wytrzymałość materiałów. Dla wydziałów budowlanych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980. ISBN 83-01-00873-3.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Wskaźniki wytrzymałości dla różnych przekrojów