Twierdzenie Hilberta o zerach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

Sformułowanie[edytuj]

W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:

Niech będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny jest postaci dla pewnych

Dla , oznaczmy . Mocny Nullstellensatz mówi:

Jeżeli jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to , gdzie oznacza radykał ideału , zatem funkcje są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.

Związek pomiędzy algebrą a geometrią[edytuj]

Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych zmiennych ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym , który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci dla pewnych . Ponieważ , otrzymujemy, że , dla pewnych a wtedy oczywiście , co oznacza, że punkt jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów .

Oznaczając przez zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału , otrzymujemy, że , czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli jest ideałem maksymalnym, to oznacza, że pewien punkt , czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu , ale I jest ideałem maksymalnym, zatem . Z drugiej strony, , oraz ideał jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem .

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7.