Ideał maksymalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ideał maksymalny – w teorii pierścieni ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.

Istotność ideałów maksymalnych wynika zasadniczo z faktu, że pierścienie ilorazowe ideałów maksymalnych są pierścieniami prostymi, co w przypadku pierścieni przemiennych z jedynką oznacza, że są one także ciałami. Dla pierścieni nieprzemiennych definiuje się ideały maksymalne lewostronny i prawostronny jako maksymalne wśród częściowo uporządkowanego zbioru ideałów odpowiednio lewostronnych bądź prawostronnych. W tym przypadku iloraz jest tylko modułem prostym nad danym pierścieniem. Jeżeli pierścień ma dokładnie jeden prawostronny ideał maksymalny, to nazywa się go pierścieniem lokalnym; wówczas ideał ten jest równocześnie dokładnie jednym lewostronnym ideałem maksymalnym tego pierścienia, co oznacza, że jest on jego (obustronnym) ideałem maksymalnym – w istocie jest to radykał Jacobsona danego pierścienia.

Własności[edytuj | edytuj kod]

W pierścieniach przemiennych z jedynką \scriptstyle R zachodzą następujące twierdzenia:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W pierścieniu \scriptstyle \mathbb Z ideałami maksymalnymi są zbiory wszystkich liczb podzielnych przez daną liczbę pierwszą p (pierścienie ilorazowe są wówczas izomorficzne z ciałami \scriptstyle \mathbb Z_p)
  • W pierścieniu wielomianów \scriptstyle \mathbb Z[X] ideałami maksymalnymi są na przykład: zbiór wielomianów dla których suma współczynników jest parzysta, zbiór wielomianów dla których różnica między sumą współczynników o indeksach parzystych i nieparzystych jest parzysta (w obu przypadkach pierścienie ilorazowe są izomorficzne z \scriptstyle \mathbb Z_2)
  • W pierścieniu wielomianów \scriptstyle \mathbb R[X] ideałem maksymalnym jest na przykład zbiór wielomianów podzielnych przez (x^2 + 1); pierścień ilorazowy jest izomorficzny z ciałem liczb zespolonych \scriptstyle \mathbb C.
  • W pierścieniu funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej zbiór funkcji znikających w danym punkcie (mających miejsce zerowe w ustalonym punkcie) jest ideałem maksymalnym.