Twierdzenie o wiriale

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale , średnie energie spełniają zależność

.

Na przykład dla oscylatora harmonicznego , a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale . Dla planety w polu grawitacyjnym , wobec tego .

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je wyprowadzić korzystając z własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

Podstawimy gdzie

- operator pędu, - operator położenia.

, gdzie

- operator energii kkinetyczne, - energia potencjalna.

Obliczmy  :

Obliczmy : Ostatecznie mamy:Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta dostajemy

Średnie w powyższym równaniu należy obliczać dla stanu własnego hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:gdzie - energia całkowita w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

Przyjmując dostajemy twierdzenie o wirialne.