Twierdzenie o wiriale

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale , średnie energie spełniają zależność

.

Na przykład dla oscylatora harmonicznego , a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale . Dla planety w polu grawitacyjnym , wobec tego .

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej[edytuj]

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je w prosty sposób wyprowadzić z podstawowych zależności korzystając z podstawowych własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

Podstawimy gdzie p jest operatorem pędu, a x operatorem położenia.

Żeby obliczyć komutator obliczymy najpierw gdzie T oznacza operator energii kinetycznej.

Następnie obliczymy komutator [xp, V(x)] gdzie V jest energią potencjalną.

W związku z tym:

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta:

Twierdzenie o wiriale zachodzi gdy średnie występujące w powyższym równaniu są brane w stanie własnym hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

gdzie ψ jest stanem własnym hamiltonianu, a E energią w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

Przyjmując dostajemy twierdzenie wirialne.