Twierdzenie Ehrenfesta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Funkcja falowa  ·

Stan kwantowy  · Stan podstawowy  · Stan stacjonarny  · Równanie własne  · Cząstka w pudle potencjału  · Cząstki identyczne  · Kwantowy oscylator harmoniczny  · Spin  · Superpozycja  · Liczby kwantowe  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie

Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Twierdzenie Ehrenfesta – podaje w jaki sposób zmieniają się w czasie wartości oczekiwane operatora położenia i pędu cząstki w mechanice kwantowej. Okazuje się, że zmiany te zachodzą w sposób analogiczny do mechaniki klasycznej.

Twierdzenie to zostało sformułowane i udowodnione przez Paula Ehrenfesta.

Dowód[edytuj]

Wyznaczamy szybkość zmian w czasie wartości oczekiwanej operatora położenia i pędu cząstki, w dowolnym stanie kwantowym .

Pracujemy w obrazie Schrödingera, więc skorzystamy z równania na szybkość zmian wartości oczekiwanej operatora.

Jeżeli operator nie zależy jawnie od czasu, to

Operator położenia

Reasumując:

Dwa ostatnie wzory stanowią treść twierdzenia Ehrenfesta. Wartości oczekiwane obliczamy bądź dla odpowiednio dużego zespołu cząstek bądź odpowiednio długich czasów.

Twierdzenie Ehrenfesta jest liczbową ilustracją zasady korespondencji Bohra (dla układ kwantowy podlega równaniom ruchu mechaniki klasycznej).

Twierdzenie Ehrenfesta pokazuje w jaki sposób z praw mechaniki kwantowej otrzymać prawa mechaniki klasycznej.

Najlepszym przykładem poprawności twierdzenia Ehrenfesta jest Paczka Trojańska, kiedy trajektoria wartości oczekiwanej operatorów pędu i położenia w przestrzeni fazowej jest kołem, a zlokalizowany gaussowski pakiet falowy również porusza się po okręgu.

Uogólnione twierdzenie Ehrenfesta[edytuj]

W mechanice kwantowej funkcjonuje też uogólnione twierdzenie Ehrenfesta, łączące szybkość zmian w czasie wartości oczekiwanej dowolnego operatora z komutatorem hamiltonianu układu. Głosi ono, że

gdzie jest pewnym operatorem kwantowomechanicznym, a jego wartością oczekiwaną. Uogólnione twierdzenie Ehrenfesta powiązane jest z twierdzeniem Liouville'a.

Zobacz też[edytuj]